Real Analysis: Sets, Point Sets, and Measure Theory

引入

实变函数整个课程的内容都是为了解决数学分析中Riemann积分的存在局限性的问题。关于测度相关内容都是为了解决这个问题而引入了一些前置知识，当然高等概率论也需要测度相关知识作为基础，这里一并进行了研究。

Riemann积分的局限性如下

• 对函数连续性的要求过高，导致Dirichlet函数Riemann不可积
• 极限和积分交换顺序的要求过高
• 反常积分问题过于复杂
• 只能在实数范围使用

这就是为什么我们决定引入Lebegue积分 他对Riemann积分的最直观改动在于从对$x$轴的划分改为了对$y$轴的划分，规避了$x$轴的间断点（函数的不连续点）对积分结果的影响。

当然，由于对$y$轴的划分方式的变换自然引入了更加复杂$x$轴的集合划分情况，我们自然的需要一套新的理论来处理这个问题。

至此，我们能引入本书的叙述逻辑

1. 研究集合与点集的理论帮助我们了解新的$x$轴划分
2. 研究测度理论以对新的划分情况量化
3. 研究Lebegue积分及其相关定理

集合与点集

集合

最基本的集合理论我们在数学分析中已经介绍过了，这里仅仅进行简单的复习，同时补充我们所需的新的概念

集合的表示

下面是一些集合表示的例子，有的已经很熟悉了，有的则相对陌生

最基础的表示

• $f(E)=\{f(x)|x\in E\}$
• $D\subset R\quad f^{-1}(D)=\{x\in E\mid f(x)\in D\}$

集合的包含关系

• $[a,b]\subset \{x:f(x)\leq m\}$

集合列表示 $\{f_n(x)\}$ 是一列函数

• $\{x:\sup f_{n}(x)\leq c\}=\cap_{n=1}^{\infty}\{x:f_{n}(x)\leq c\}$
• $\{x:\sup f_{n}(x)>c\}=\cup_{n=1}^{\infty}\{x:f_{n}(x)>c\}$
• $(a,b)=\bigcup_{n=1}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}]$
• $\{x|f(x)>0\}=\cup_{n=1}^{\infty}\{x|f(x)>\frac{1}{n}\}$

集合列表示是以前见的比较少的表示方式，他用一列集合的交并来表示一个集合。将可数代替了不可数。

集合的极限

对于一列集合$\{A_n\}$ 有如下定义

• $\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{m=n}^{\infty}A_{m}=\underline{\lim_{n\to\infty}A_{n}}$ 为下极限 意味着从某时刻后 $x$ 属于无穷多个$A_n$ (只在有限多个集合中不存在)
• $\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{m=n}^{\infty}A_{m}=\overline{\lim_{n\to\infty}A_{n}}$ 为上极限 意味着 $x$ 属于无穷多个$A_n$
• 当 $\underline{\lim_{n\to\infty}A_{n}} = \overline{\lim_{n\to\infty}A_{n}}$ 的时候 称为集合列有极限 记作 $lim _{n \to \infty }A_n$

集合也存在单调性 定义为 $A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\cdots$ 则称为集合单调递增，反之称为单调递减

如果集合单增或者单减，他们一定存在极限，极限即为集合列的并或者交

集合的元素个数

定义：如果两个集合之间存在一一对应的关系（双射），则称为两个集合有相同的基数或者说势 记作 $|A|=|B|$

定义：与集合$N$等势的集合称为可数集/可列集 其中的元素个数记作 $\aleph_0$

定理：$A$是可数集，那么他可以编号排成无穷序列。

等势关系是一个等价关系，有自反，对称，传递三条性质

定理：$R$是不可数集，也就是他的元素个数大于$\aleph_0$ 我们记其基数为$c$

关于可数集和有限集的几个命题，他们都可以从定义出发证明

• 有理数集是可数集
• 有限集和可数集的并是可数集
• 任意无限集包含一个可数集（可数集是最小的无限集）
• 至多可数集个可数集的并是可数集
• 有限个可数集的笛卡尔积是可数集（可数个的笛卡尔积则不一定）
• 可数集的无线子集可数
• 代数数的全体构成可数集（不是代数数的数是超越数）

定义：A和B的一个子集对等 则A的基数小于等于B基数 记作$\bar{A}\le\bar{B}$ 定义：A和B的一个子集对等 但AB不对等 则$\bar{A}<\bar{B}$

定理：可数集的幂集的基数为$c$

定理（Berstain）：设$A,B$两个集合，若$A \le B$且 $A\ge B$ 则 $\overline{A} =\overline{B}$

康托尔定理：幂集的基数大于原本集合的基数

关于连续基数，有下面的命题

• 可数个连续基数的并有连续基数
• 可数个连续基数的集合的直积有连续基数
• $B_{n}= \{0,1\}$ 可数个$B_n$的直积是连续基数
• $R^n$的基数是$c$
• $c$个连续基数集合的并有连续基数

点集

我们在 泛函分析中的度量空间的拓扑性质 以及 点集拓扑学中的拓扑空间与连续性 中详细介绍了点集相关理论，这里没必要将他们重复叙述了。着重补充一些在测度理论后面会用到的点集性质

定理：直线上的任意非空开集可以表示为至多可数个开区间的并（参考我们前面介绍的集合列表示）

定理：对于构造直线上的闭集，可以从直线上挖去至多可数个开区间。

Contor三分集：通过不断挖掉集合的每一段的中间$\frac{1}{3}$部分来构造，有下面的非常神奇的性质，看似是矛盾的

• Contor三分集是一个完备集（也就是足够密）
• Contor三分集没有内点，也就是他是无处稠密集合
• Contor三分集有连续基数$c$
• Contor三分集的测度（长度）是0，也就是挖掉的点测度是1

稠密和不够稠密，点的数量够多但测度是0，两个矛盾。

测度

测度理论研究更加广泛的 “长度” 从直观上，我们要求测度具有

• 非负性
• 有限/可数 可加性
• 空集测度为0

当然，我们后面研究的是Lebegue测度而非是最简单的测度，Lebegue测度会有一些自己独有的性质，帮助我们研究

外测度

为什么讨论外测度？

测度有两种情况，不足和有余。它们对应了内测度和外测度，两者相等称为可测。在有了外测度的相关知识后，我们就可以继续深入研究测度问题。

定义：区间$(a,b)$ 的长度为 $b-a$ 不妨记为 $|(a,b)|$

定义：$I=I_{1}\times I_{2}\times\cdots\times I_{n}$ 其中$I_i$是 $R$ 中区间 $|I|=|I_1|\times|I_2|\times\cdots\times|I_n|$是其体积。当区间均为开集的时候，称为开方体。

实变函数一般基于欧式空间研究，这就是为什么这里给出这样的定义。

定义：$A\subset R^{n}$ $\{I_k\}$为 $A$ 的开方体覆盖 当且仅当 $A\subset\cup_1^{\infty}I_{k}$

定义：$A$的外测度 $v^{\star}(A)=\inf\{\Sigma|I_k|\}$ 其中$I_k$至多可数个覆盖 使用$V,m$ 都是可以用的符号

明显的，外测度是正项级数体现出来的

证明：$R$中有限集和可数集的外测度为0，并且该性质可以推广到$R^n$ ，这个性质体现了有理数的稀少（比实数少）

外测度满足我们需要的一些性质吗？

• 非负性：满足
• 可数可加性：不满足，只符合次可数可加
• 空集测度为0：满足
• 正则性（区间$(0,1)$测度为1）：满足

下面是一些推证命题

• 空集零测：$v^{\star}(\phi) = 0$
• 单调：$A<B\quad V^{*}(A)\leq V^{*}(B)$
• 平移不变：${V}^{\star}(x_{0}+A)={V}^{\star}(A)$
• 次可数可加：${V}^{\star}(\cup_1^{\infty}A_{k})\boxed{\leq}\sum_{1}^{\infty}V^{\star}(A_k)$

外测度的不满足我们喜欢的可数可加性是很讨厌的，不过我们没有什么更好的办法了，所以依旧使用这一套理论

可测集

有了外测度的概念以后，如何研究可测集？

定义（可测集）$E\subset R^n$ E可测 如果任取集合$T\subset R^n$ 都有 $m^*(T)=m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c)$ 此时称 $m^{\star}(E)(E的外测度)$为E的测度

我们可以给出下面的定理：

• $R^n,\phi$ 均为可测集
• $S$可测 则 $S^c$ 可测
• $S_1,S_2\text{可测 }\Rightarrow S_{1}\cup S_2\text{ 可测}$
• $S_1S_2\text{ 可测 }S_1\cap S_2=\phi$ 任取$T$ $m^{\star}(T\cap {(S_1\cup S_2)}=m^{\star}(T\cap S_1)+m^{\star}(T\cap S_2)$\
• $S_1S_2\text{ 可测 }S_1\cap S_2=\phi$ $m^{\star}(S_{1}\cup S_{2})=m^{\star}(S_1)+m^{\star}(S_2)$
• 有限个可测集的交可测
• $S_1,S_2$可测 $S_1-S_2$可测 并且 $m(S_2)<\infty$ 则 $m(S_1-S_2)=m(S_1)-m(S_2)$

我们还可以取测度的极限有

$S_i$是递增的集合列，$S=\cup S_{i}= limS_n$ 则$m(S) = lim(m(S_n))$ 递减也同理，这本质是集合的并与极限进行了换序

可测集类

抽象我们前面研究的那些性质，我们来解释哪些集合是可测的。

可测集合的基本性质为

• $\Omega \in \mathcal{A}$ ($\phi \in \mathcal{A}$)
• $\text{若}A\in \mathcal{A}\text{则}A^{c}\in \mathcal{A}$
• $\text{若}A_1,A_2,\ldots,A_n\in \mathcal{A},\text{则}\sum_{i=1}^nA_i\in \mathcal{A}$ 这其实就是我们在 高等概率论中的$sigma$代数里面研究的$\sigma$代数

因此我们可以说：可测集类是一个$R^n$上的$\sigma$代数

非常自然的，我们知道

• 任意区间都是可测集
• 任意开集可测
• 从开集导出的Borel集可测

定理：零测集，零测集子集，至多可数个零测集的并均是可测集

从直观讲：可测集的可测来源其有一个优秀的边界，据此我们可以给出定理：如果$E$是可测集 则

• $mE=\inf\{mG:G\text{是开集 }E\subset G\}$ 也就是外正规性
• $mE=\sup\{mK,k\text{是紧集} K\subset E\}$ 也就是内正规性

反之：如果一个集合满足内外正规，则他是可测集

我们承认以下内容

• 对于任何具有正测度的集合必有不可测子集
• 我们找不到一种更优的测度，让子集可测且满足Legegue测度三性质

可测函数与Lebegue积分

可测函数的定义

研究可测函数，是为了保证Lebegue积分的存在性，为后面的研究打好基础

我们传统的实值函数研究$f:R\to R$ 对于研究可测函数而言，这是不够的，我们需要引入广义实值函数的概念。

定义（广义实值函数）：我们允许研究$f:E\to R\cup(-\infty,+\infty)$ 这里的$\infty$是一个很大的数，比一切实数都大，$E$是可测集。这样的函数称为广义实值函数。以前我们研究到$f:E\to R$ 称为有限函数 （不是有界函数）

定义（可测函数）：$f:E\to R\cup(-\infty,+\infty)$ 当且仅当 $\{x\in E;f(x)>a\}$ 是可测集 记作 $E[f>a]$ $\forall a\in R$

定理：可测函数有下面的充要条件

• $E[f\le a]可测\forall a\in R$
• $E[f\ge a]可测\forall a\in R$
• $E[f< a]可测\forall a\in R$

推论：$f可测\Rightarrow E[f=a]是可测集$ 这就是研究可测函数想要实现的

特别的，我们可以使用非负的简单函数逼近非负的可测函数，并且将可测函数的正部和负部使用两个非负可测函数近似，最终将一切可测函数使用简单函数逼近。这是因为简单函数有很好的Lebegue积分的性质，这将是我们定义Lebegue积分甚至一切测度上积分的优良方法

可测函数的运算

容易知道：$f(x)=c$ 常值函数是可测函数

根据定义，我们容易证明：可测函数的四则运算仍是可测函数

使用定义可以证明：可测函数的绝对值仍旧是可测的

现在我们来研究几个特殊的问题

对于可测函数列$\{f_n(x)\}$ 研究$sup(f_n(x)),inf(f_n(x))$ 的可测性。

$$E[\sup f_n(x)\geq a]=\cap E[f_n(x)\geq a]$$

因此可测函数对$sup,inf$保持封闭，这是连续函数没有的优良性质。这个性质可以推广到 可测函数的上下极限函数也可测

对于可测函数$f(x)$ 研究$f^+(x),f^-(x)$的可测性，使用定义可测验证该性质确实成立。

综上，我们可以给出一些经典的可测函数的例子

• 常值函数可测
• 连续函数可测
• $[a,b]$上单调函数可测
• 简单函数可测（Dirichlet函数也是简单函数）

可测函数列的收敛

我们将一切研究函数项级数的经验推广到可测函数的范畴。

复习：一致收敛与逐点收敛，一致收敛是比逐点收敛更强的性质。要保证连续性，缩小区间可能把不一致收敛变为一致收敛。

补充：几乎处处成立，在去掉一个零测集以后成立，记为a.e.

叶果洛夫定理：对于一列可测函数$f_k(x)$ 一个在$E$上可测的函数$f$ ，他们均a.e.有限，并且$m(E)<\infty$ 。若$f_k(x)$几乎处处收敛于$f$，则$f_k(x)$几乎处处一致收敛于$f$

这就是叶果洛夫定理，研究了可测函数的逐点收敛与一致收敛的联系。

现在，我们再来研究一种收敛性。

定义（依测度收敛）：设$\{f_n\}$是定义在可测集$E$上的几乎处处有限的可测函数序列，若有$E$上几乎处处有限的可测函数$f$满足下列：对任给的$\varepsilon>0$,有

$$\lim_{n\to\infty}\mu(\{x\in E:|f_n(x)-f(x)|\geq\varepsilon\})=0,$$

则称函数序列$\{f_n\}$依测度收敛于$f$,或度量收敛于$f$。

用更直观的话说，就是随着$n$的增大，偏离$f$超过精度$\varepsilon$的$f_n$构成的集合的测度趋于零 。

能看出，依测度收敛是比逐点收敛更弱的，可以参考初等概率论中的收敛性

虽然我们说，依测度收敛比逐点收敛，几乎处处收敛，一致收敛都要弱，但是在不附加额外条件的情况下，后者也无法推导出前者，我们什么都退不出来。不过如果愿意附加条件，有下面的定理。

(勒贝格)定理：一列可测函数$f_n(x)$,$f$也是$E$上可测函数，它们均几乎处处有限，$m(E)<\infty$, 则若$f_n(x)$几乎处处收敛于$f$,则$f_n(x)$依测度收敛于$f$。

(里斯)定理：设$f_n$依测度收敛于$f$,则有子列$f_{n_k}$a.e.收敛于$f$。

Lebegue积分的定义

引入Lebegue积分是为了处理那些Riemann不可积的情况，我们的基本思想是从对$x$划分呢改为对$y$划分。

我们的思路参考这里沿用前文关于简单函数逼近可测函数的思路：可以使用非负简单函数逼近非负可测函数，并将可测函数的正部和负部分别用非负可测函数近似，最终用简单函数逼近一般可测函数。简单函数具有良好的 Lebesgue 积分性质，因此适合作为定义 Lebesgue 积分以及一般测度积分的出发点。 在积分的定义结束后，我们来研究一些Lebegue积分的性质。以及对应的微分问题本文“积分与微分”部分

非负简单函数

$$E=U_{i=1}^{n}E_{i}\quad f(x)=C\quad\forall x\in E_i$$

从纵轴划分，我们可以自然的定义Lebegue积分为

$$\int_{E}f(x)dx=\sum c_i\cdot m(E_i)$$

据此，我们可以自然的给出一些Lebegue积分的性质，他们很多都可以推广到后面我们研究得范畴

• $A\subset E$ 则有 $\int_{A}f(x)dx=\sum c_{i}m(E_{i}\cap A)$
• $A,B\subset E\quad A\cap B=\phi \quad\text{则}\int_{A\cup B}f(x)dx=\int_{A}f(x)dx+\int_{B}f(x)dx$
• 对于一列$A_n,E=limA_n$ 则$\int_{E}f(x)dx=\lim_{x\to\infty}\int_{An}f(x)dx$
• $\int_{E}(\alpha f(x)+\beta g(x)dx=\alpha\int_{E}f(x)dx+\beta\int_{E}g(x)dx$
• 零测集积分为0

非负可测函数

自然的，我们可以找到一列非负简单函数使得 $lim_{k\to \infty}\phi_k(x)=f(x)$ 因此我们可以定义

$$\int_{E}f(x)dx=sup\{\int_{E}\phi(x)dx,\phi(x)\text{是非负简单函数} phi(x)<f(x)\}$$

我们可以自然的找到性质，如果$\varphi(x)< \psi(x)$ 则 $\int_{E}\varphi(x)dx<\int_{E}\psi(x)dx$ 对于一切非负可测函数都成立。

定义：如果$\int_{E}f(x)dx<\infty$ 则称为$f(x)$在$E$上Lebegue可积

定理：如果$f(x)$Lebegue可积，则他一定几乎处处有限。

性质：我们在前面研究的五条性质在非负可测函数上均成立。

推论：

• 零测集不影响Lebegue积分，因此前面介绍的性质在a.e.的时候仍成立
• 如果$f(x)=g(x)$ a.e. 成立 则$\int_{E}f(x)dx=\int_{E}g(x)dx$
• 如果$f(x)=0$ a.e. 成立 则$\int_{E}f(x)dx=0$

在研究非负可测函数的Lebegue积分的时候，我们可以给出三个重要定理

Livil定理：对于递增的函数列，极限和积分可以交换顺序

$$\lim_{n\to\infty}\int_Ef(x)dx=\int_E\lim_{n\to\infty}f_n(x)dx$$

逐项积分：累加函数可以转换为逐项积分

$$\int_E(\sum f_n(x))dx=\sum\int_{E}f_n(x)dx$$

Fatou引理：函数序列的下极限的积分不会大于函数序列积分的下极限

设$(f_n)$是定义在可测集$E$上的非负可测函数序列。那么，以下不等式成立：

$$\begin{aligned}\int_E\liminf_{n\to\infty}f_n\:d\mu\leq\liminf_{n\to\infty}\int_Ef_n\:d\mu.\end{aligned}$$

这里，$\lim\inf_{n\to\infty}f_n$表示函数序列$(f_n)$的逐点下极限，即对于每个$x\in E,\lim\inf_n\to\infty f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\inf_{k\geq n}f_k(x)$

一般的可测函数

自然的，我们区分正部和负部进行研究。

定义：$\int_{E}f(x)dx=\int_{E}f^{+}(x)dx-\int_{E}f^{-}(x)dx$ 当两个积分中有一个是有限的时候，我们称积分是确定的，当差值有限的时候称为Lebegue积分。

前面提出的积分性质均可自然推广，并且我们给出一个和Riemann积分明显不同的性质。

定理：当$f$是可测函数的时候，$f$ Lebegue 可积 则有 $|f|$ Lebegue 可积

E.g. $|f(x)|<g(x)\quad a.e. E\quad\quad g(x)\text{非负L可积}$ 则有，$f(x)\in L(E)$

证明为

$$|\int_{E}f(x)dx|\leq\int_{E}|f(x)|dx\leq\int_{E}g(x)dx$$

也就是**用可积函数控制来保证L可积性。 Riemann积分就没有这个性质

积分与微分

Lebegue控制收敛定理与应用

这是对Livil定理部分的三个定理的推广。

Lebesgue控制收敛定理：设$\{f_n\}$是定义在可测集$E$上的可测函数序列，且满足以下条件：

• 对于所有的$n$,有$f_n(x)\to f(x)$几乎处处 (a.e.)在$E$上成立，即存在一个测度为零的集合$N\subset E$,使得对于所有$x\in E\setminus N$,当$n\to\infty$时，$f_n(x)\to f(x)$。
• 存在一个可积函数$g$(即$g\in L^1(E)$),使得对于所有的$n$和几乎所有的$x\in E$,有$|f_n(x)|\leq g(x)$ 那么，函数$f$是可积的，并且：

$$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{E}f_{n}\:d\mu=\int\limits_{E}f\:d\mu.$$

这个定理的直观含义是，如果一个函数序列几乎处处收敛到一个函数，并且这个序列被一个可积函数所控制，那么这个序列的积分极限等于极限函数的积分。也就是积分和极限可以交换顺序

根据Lebugue控制收敛定理，我们可以再给出两个关于积分换序的命题。

对于无穷级数：$\sum f_{n}(x)=\lim_{n\to\infty}\sum f_{k}(x)$ 取

$$F(x)=\sum_{1}^{\infty}|f_{k}(x)|$$

作为控制函数，那么只要

$$\int_{E}\sum|f_{k}(x)|dx<\infty$$

就可以保证原始无穷级数收敛，并且可以进行换序有

$$\int_{E}\sum f_{n}(x)dx=\sum\int_{E}f_{n}(x)dx$$

对于求导和积分换序的问题：$\lim_{n\to+\infty}\frac{f(x,t+h)-f(x,t)}{h}$ 我们还是可以通过找控制函数利用Lebegue控制收敛定理的方法来证明，这个控制函数是可以找到的，因此求导与积分是可以进行换序的。

Riemann积分与Lebegue积分的关系

在研究Riemann积分的时候我们聊过

• 当“振幅”几乎处处为0的时候，Riemann可积
• 几乎处处连续的时候，Riemann可积 据此，我们可以证明：单调函数Riemann可积，因为其不连续点集零测

那Lebegue积分和Riemann积分有什么联系吗？

我们知道，Lebegue积分可以处理一些Riemann不可积的情况，但是目前依赖定义的方法导致Lebegue积分并不好算，因此我们可以给出定理。

Riemann可积的函数一定Lebugue可积，并且其Lebegue积分和Riemann积分相等

也就是说，Lebegue是更广的Riemann积分，兼容以前研究的Riemann积分。

对于反常积分则有

定理：对于$[a,b]$上的非负实函数$f$ 如果$\forall A>0$ 都有 $[a,A]$ 上 $f$ 是Riemann可积的并且反常积分收敛，则$f$在$[a,\infty]$ 上Legebue 可积 且积分值相等。如果反常积分发散，则Legebue 不可积

对于那些不是非负的函数$f$ Legebue积分不是Riemann积分的推广。实际上，反常Riemann积分本身就不属于Riemann积分的范畴，不满足其定义。

Lebegue积分几何意义与Fubini定理

我们首先给出结论，可测集的直积仍可测，并且满足

$$m(A\times B)=m(A)\times m(B)$$

定义：下方图形$G(E,f)$是函数$f$在定义区间$E$上的曲线下图形面积

定理：非负可测函数的Lebegue积分的几何意义为

• $f$是可测函数 $\Longleftrightarrow$ 下方图形面积可测
• Lebegue积分就是下方图形的面积测度

推论：对于一般的可测并且Legebue可积的函数$f$

• $\int_{E}f(x)dx=G(E,f^{+})-G(E,f^{-})$
• $G(E,f^{+}),G(E,f^{-})$ 面积均是有限的

Fubini定理：使用逐次积分计算重积分的核心定理

对于$A\subset R^{p},B\subset R^q$ 的可测集

如果$f(D)=f(x,y)$ 在$A\times B$ 上非负可测，则有 a.e. $\forall x\in A$ $f(x,y)$作为$y$的函数在$B$上可积，并且

$$\int_{A\times B}f(d)dd=\int_{A}dx\int_{B}f(x,y)dx$$

如果$f(D)$在$A\times B$上可积 则有 a.e. $\forall x\in A$ $f(x,y)$作为$y$的函数在$B$上可积，a.e. $\forall y\in B$ $f(x,y)$作为$y$的函数在$B$上可积，并且

$$\int_{A\times B}f(d)dd=\int_{A}dx\int_{B}f(x,y)dx$$

Lebegue定理

从本节开始，我们研究Lebegue积分求导的问题

前面我们知道，单调函数的不连续点是至多可数集。

现在给出Lebegue定理：设$f(x)$是$[a,b]$上单调函数，则

• $f(x)$在$[a,b]$几乎处处存在导数$f^{\prime}(x)$ / $f(x)$几乎处处可测
• $f(x)$在$[a,b]$可积
• 如果$f(x)$是增函数，则$\int_{a}^{b}f^{\prime}(x)\leq f(b)-f(a)$

有界变差函数

在Riemann积分的领域，积分和导数互为逆运算，这个性质是否可以向Lebegue积分推广。

我们知道，直接推广是完全不可能的，到底什么样的函数能满足这个互为逆运算的优秀性质。

定义（有界变差函数）：如果$f(x)$是$[a,b]$ 的有界函数，如果有$f(x)=g(x)-h(x)$ 且$g(x),h(x)$均是$[a,b]$上增函数，则称$f(x)$是有界变差函数。

等价定义（有界变差函数）：如果$f(x)$是$[a,b]$ 的有限函数，给出分化$\Gamma$ 如果$\{\sum|f(x_i)-f(x_{i-1})|\}$ 在任意分化下均是有界的，则称$f(x)$是有界变差函数。

根据Lebegue控制收敛定理：只要是有界变差函数，则$f(x)$在$[a,b]$上几乎处处存在导数$f^{\prime}(x)$ 是L可积的。

有界变差函数有下面的性质

• 有界变差函数有界
• 若$f,g$是有界变差函数，则$cf,f+g$是有界变差函数
• 若$f,g$是有界变差函数， 则$fg$是有界变差函数
• 若$f$在$A$上是有界变差函数，则$f$ 在 $A$ 的子集上是有界变差函数

微积分基本定理

我们知道保证有界变差函数的导数是L可积的

事实上，我们不能保证所有有界变差函数均满足N-L公式，只知道满足N-L公式的函数都是有界变差的，因此我们需要进一步研究。

我们这里继续研究积分和微分调换顺序的问题，也就是N-L公式的核心问题

先积分再微分

定理：$f(x)$是$[a,b]$上L可积函数，则

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\int_{a}^{x}f(t)dt]=f(x)$$

a.e. 于 $[a,b]$

先微分再积分

也就是

$$\int_{a}^{x}f^{\prime}(t)dt=f(x)-f(a)$$

这个性质并不对所有的L可积的有界变差函数成立。

绝对连续与奇异连续

定义（奇异函数）：导数几乎处处为0，但是不是常值函数（难以构造，需要使用Contor集）

定义（绝对连续函数）：与奇异函数恰好相反的一类连续函数

定理：$g(x)\in L[a,b]$ 时$\int_{a}^{x}g(t)dt$ 绝对连续

定理：$[a,b]$上绝对连续函数构成线性空间

定理：绝对连续函数是有界变差函数

微积分基本定理

综上所述，我们给出Lebegue积分的微积分基本定理：$f(x)$ 在$[a,b]$上绝对连续，则有

$$\int_{a}^{x}f^{\prime}(t)dt=f(x)-f(a)$$