Point-Set Topology: Topological Spaces, Continuity, and Subspaces

引言

拓扑学研究几何图形的拓扑性质，这种性质与欧式几何中所研究的性质完全不同，他与度量与形状都没有任何关系，只与图形的整体结构特性有关系。

据此，我们可以给出不改变拓扑性质的变换（拓扑变换）的定义：

把图形$M$ 变换为 $M^{'}$ 就是给出一个一一对应（不重叠，不产生新的点）的映射 $f:M\to M^{'}$ 并且映射$f$ 连续（不产生撕裂） 同时$f^{-1}$ 也连续（不产生粘连）此时我们称$f$ 是一个拓扑变换，并且我们称$M,M^{'}$ 是同胚的

所谓拓扑性质就是同胚的图形所共同具有的性质，拓扑学不区分同胚的图形，因为他们有一样的拓扑性质

从上面我们可以看出，拓扑变换是研究图形同胚的重要手段，我们可以通过构造拓扑变换来判断图形的同胚。反过来，我们可以根据他们是否有相同的拓扑性质来判断是否同胚

后面我们主要研究一般的点集拓扑学和一点点代数拓扑学的知识，作为研究其他抽象的数学结构的基础，拓扑和流形是研究高维空间上的有效手段。

拓扑空间与连续性

本文“引言”部分已经介绍了基本的拓扑变换与拓扑性质的定义，但是我们仍在基于欧式空间进行讨论。但是更加广义的数学早已经脱离了欧式空间的限制，为了研究他们，我们需要引出比一般欧式空间和度量空间更加广义的空间结构。我们一般称为拓扑空间结构。

拓扑空间

映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，因此我们寻找的新的空间结构能刻画这一点。

在分析学中，我们研究连续性的方法主要有

• $\epsilon - \delta$ 语言
• 序列收敛的语言
• 开集语言：若$V$是包含$f(x_0)$ 的开集，则存在包含$x_0$ 的开集$U$ 使得$f(U)\subset V$

其中，我们在数学分析1 极限与连续理论中主要使用第一种语言，在泛函分析中主要使用第二种语言。他们都要求我们定义空间上的距离，而第三种则绕开了距离的限制，只需要定义空间上的开集就可以定义连续，比前两种更加简单，是定义拓扑空间的好选择

拓扑空间的定义

设$X$是一个非空集合 , 记$2^{X}$是$X$的幂集，即以$X$的所有子集(包含空集$\varnothing$和 $X$ 自己)为成员的集合.把 $2^X$的子集称为$X$ 的子集族

定义 设$X$是一非空集合. $X$的一个子集族$\tau$称为$X$的一个拓扑，如果它满足

1. $\textit{ X}, \varnothing$都包含在 $\tau$ 中；
2. $\tau$ 中任意多个成员的并集仍在$\tau$中；
3. $\tau$中有限多个成员的交集仍在$\tau$中.

集合$X$和它的一个拓扑$\tau$一 起称为一个拓扑空间 , 记作 $( X, \tau )$ 称$\tau \textbf{ }.$中的成员为这个拓扑空间的开集.

定义中的三个条件称为拓扑公理．

从定义看出，给出集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集．这种规定不是任意的，必须满足三条拓扑公理．

一般来说一个集合上可以规定许多不相同的拓扑，因此说到一个拓扑空间时要同时指明集合及所规定的拓扑．以后在不会引起误解的情况下，也常常只用集合来称呼一个拓扑空间，如拓扑空间 $X$ ，拓扑空间 $Y$ 等

很显然 当$X$ 是一个非空集合的时候 $2^X$ 构成一个$X$ 上的一个拓扑，我们称为离散拓扑；同时 $\{X,\phi\}$ 也构成一个拓扑，我们称为平凡拓扑。当 X中包含多于一个点时，这两个拓扑不相同。 至于更多的关于构成拓扑的问题，都可以直接用定义进行验证

设$\tau_1,\tau_2$是集合$X$上的两个拓扑，如果$\tau_1\subset\tau_2$,则说$\tau_2$比大(或说$\tau_2$比$\tau _1\textbf{ }$精细 ) . 离散拓扑比任何别的拓扑都大 ,而平凡拓扑比别的拓扑都小.

特别的，我们给出几个常用的拓扑

• 设$X$是无穷集合，$\tau _f= \{ A^c\mid A\textbf{ 是 }X\textbf{ 的有限子集 }\cup \left\{\varnothing\right\}$,则不难验证$\tau_f$是$X$的一个拓扑，称为$X\textbf{ }.$上的余有限拓扑
• 设$X$是不可数无穷集合，$\tau _c= \{ A^c\mid A\textbf{ 是 }X\textbf{ 的 可 数 子 集 } \cup \}\left\{\varnothing\right\}$,则$\tau_c$ 也是 $X$ 的拓扑，称为余可数拓扑.
• 设$R\textbf{ }$是全体实数的集合 , 规 定$\tau _e= \{ U| U\textbf{ 是 若 干 个 开 区间的并集}\}$,这里“若干”可以是无穷，有限，也可以是零，因此$\varnothing\in$ $\tau_{e}.$则$\tau _e\textbf{ 是 }R$ 上的拓扑，称为 $R$ 上的欧氏拓扑. 记 $E^1=(R,\tau_e).$

度量拓扑

关于度量空间的概念参考 泛函分析中的度量空间的定义 本节我们在度量空间上研究

设$(X,d)$ 是一个度量空间，我们来定义一个拓扑

由于度量空间具有距离结构，我们可以容易的给出邻域的概念如下

$$B(x_0,\varepsilon):=\{x\in X|d(x_0,x)<\varepsilon\}$$

规定$X$ 的子集族 $\tau_d$ 有$\tau_d=\{U|U\text{ 是若干个球形邻域的并集}\}$ 我们可以不假证明的给出，$\tau_{d}$ 是$X$ 上的一个拓扑

我们称这种由度量导出的拓扑空间为度量拓扑 每个度量空间都自然地看成具有度量拓扑的拓扑空间。从而欧氏空间$E$ 也是拓扑空间（其度量拓扑称为欧氏拓扑）

从这个意义上讲，拓扑空间是欧氏空间和度量空间的推广．三条拓扑公理也正是从度量空间的开集所具有的最基本的性质中抽象出来的．

拓扑空间中的几个基本概念

下面要讲的几个基本的拓扑概念在欧氏空间和度量空间中都出现过，但现在用开集概念来规定它们．(原本我们不完全是用开集语言描述的，而这里我们只有这个概念了)

本节内容可以结合泛函分析中的度量空间的拓扑性质一起思考

闭集

定义（闭集）：拓扑空间$X$的一个子集$A$ 称为闭集,如果$A^c$是开集．

也就是说，闭集就是开集的余集，反过来开集一定是一个闭集的余集

拓扑空间的闭集满足：

• 空集和全空间是闭集
• 任意多闭集的交是闭集
• 有限个闭集的并都是闭集

这也是在度量空间闭集所具有的性质，正如我们前面所提到的拓扑空间是欧氏空间和度量空间的推广 是把他们所具有的一些性质抽象得到的

邻域、内点和内部

定义（邻域、内点和内部） 设 $A$ 是拓扑空间 $X$ 的一个子集，点 $x\in A$．如果存在开集 $U$ ，使得 $x\in U\subset A$ ，则称 $x$ 是 $A$ 的一个内点， $A$是 $x$ 的一个邻域 ;$A$ 的所有内点的集合称为 $A$ 的内部，记作 $A^{\circ}$.

聚点与闭包

设$A$是拓扑空间$X$的子集，$x\in X.$如果$x$的每个邻域都含有$A\backslash\{x\}$中的点，则称$x$为$A$的聚点 $A\textbf{ }$ 的 所有聚点的集合称为 $A\textbf{ }$的导集 , 记作$A^{\prime }.$ 称集合 $\overline A:=A\bigcup A^{\prime}$为 $A$ 的闭包

子空间

设 $A$ 是拓扑空间$(X,\tau)$ 的一个非空子集．

规定$A$的子集族

$$\tau_A:=\{U\cap A|U\in\tau\}.$$

容易验证 $\tau_A$ 是$A$ 上的一个拓扑，称为$\tau$导出的 $A$ 上的子空间拓扑，称$(A,\tau_A)$为$(X,\tau)$的子空间

以后，对拓扑空间的子集都将看作拓扑空间，即子空间.

我们在拓扑空间的子空间$A$ 上继续导出子空间$B$ 和直接从$X$ 中导出子空间 得到的子空间是一样的。

类似的，如果我们有一个度量拓扑，从拓扑性质上导出子空间还是先导出度量子空间再导出拓扑空间，他们的空间都是一样的

连续映射与同胚映射

连续映射是拓扑学中另一个最基本的概念和研究对象．

连续映射的定义

定义：设$X$和$Y$都是拓扑空间，$f: X{\rightarrow }Y\textbf{ 是 一 个 映 射 , }x$ $\in X.$如果对于$Y$ 中 $f(x)$的任一邻域$V, f^- 1( V)$ 总是 $x$ 的邻域，则说$f\textbf{ }$在$x\textbf{ }.$处连续

很显然的，我们这里在回应的是连续的映射满足开集的原像是开集的叙述，这就是拓扑从欧式空间与度量空间中吸收的那一部分

命题 设$f:X\boldsymbol{\rightarrow}Y$是一映射，$A\textbf{ 是 }X$的子集$,x\boldsymbol{\in}A.$记$f_A=f|A:A{\rightarrow}Y$是$f$ 在 $A$上的限制，则有

• 如果$f$ 在 $x$ 连续 那么 $f_A$ 也在$x$ 连续
• 如果$A$ 是 $x$ 的邻域 那么当$f_A$ 在 $x$ 连续的时候 $f$ 也在这一点连续 命题的前半部分非常自然，而后半部分告诉我们 连续性是一个局部的性质，只和一个邻域有关

定义 ：如果映射$f: X\to Y$ 在任一一点 $x\in X$ 处都连续，我们则称其为连续映射，他是一个映射的整体性质

推论：有映射$f: X\to Y$ 以下的命题等价

• $f$ 是连续映射
• 任意开集的原像是开集
• 任意闭集的原像是闭集合

在这里我们提示：虽然拓扑空间中也有序列收敛的概念，但不能用它来刻画连续性。 连续可以保证 $x_{n}\to x$ 的时候 $f(x_{n})\to f(x)$ 但是逆命题不成立

连续映射的性质

先指出几个简单而常见的连续映射．

• 恒等映射是连续映射 即$f:X\to X(id(x)\to x)$
• 设 $A$ 是 $X$ 的子空间 则包含映射 $f:A\to X(id(x)\to x)$ 是连续映射
• 常值映射是连续映射
• 若$f:X\to Y$ 其中 $X$ 是离散拓扑空间 或者 $Y$ 是平凡拓扑空间 则映射是连续的
• 两个连续映射的复合是连续映射；两个在某点连续的映射的复合映射连续

然后让我们介绍一些简单的定理

设$\mathscr{B}\subset2^X$是拓扑空间$X$的子集族，如果$\bigcup_{C\in\mathscr{B}}C=X$(即$\forall x\in X$ 至少包含在$\mathscr{B}$ 的一个成员中). 则称$\mathscr{B}$是$X$的一个覆盖， 如果覆盖 $\mathscr{B}$ 的每个成员都是开(闭)集，则称$\mathscr{B} \textbf{为 开 ( 闭 ) 覆 盖 ; 覆 盖 }\mathscr{B}$ 只包含有限个成员时，则称为有限覆盖.

定理（粘接引理）设$\left\{A_1,A_2,\cdotp\cdotp\cdotp,A_n\right\}$是$X$的一个有限闭覆盖.如果映射$f:X\boldsymbol{\rightarrow}Y$在每个$A_i$上的限制都是连续的，则$f$是连续映射.

他允许我们分片的研究映射的连续性

同胚映射

这里我们可以回应在本文“引言”部分 中给出的问题了

定义 如果$f: X{\to }Y\textbf{ }$是一一对应 , 并 且 $f,f^{- 1}$都是连续的，则称$f\textbf{ }$是一个同胚映射 , 或称拓扑变换 , 或简称同胚.当存在$X$到$Y$的同胚映射时，就称$X$与$Y\textbf{ }$同胚 , 记 作$X\cong Y.$

容易给出一些自然的性质

• 在全体拓扑空间集合内的同胚关系是一个等价关系
• 恒同映射是同胚映射
• 如果$f$ 是同胚映射 那么 $f^{-1}$ 也是同胚映射

有了同胚映射（拓扑变换）的概念，就可像引言中那样规定拓扑性质概念

定义 拓扑空间的在同胚映射下保持不变的概念称为拓扑概念，在同胚映射下保持不变的性质叫拓扑性质

能看出：开集是拓扑概念；由它规定的闭集、闭包、邻域、内点等等概念都是拓扑概念。用开集或其派生的拓扑概念来刻画的性质都是拓扑性质；例如可分性是拓扑性质

研究拓扑空间的同胚分类问题是拓扑学的一个基本问题．拓扑性质对它起了重要作用

乘积空间与拓扑基

乘积空间

设$\mathscr{B}$是$X$的一个子集族，规定新子集族

$\overline{\mathscr{B}}:=\left.\left\{U\subset X|U\text{ 是 }\mathscr{B}\text{ 中若干成员的并集}\right\}\right.$ $=\left\{U\subset X\mid\forall x\in U,\text{存在 }B\in\mathscr{B},\text{使得 }x\in B\subset U\right\}.$

称$\overline{B}$为$\mathscr{B}$所生成的子集族.显然$\mathscr{B}\subset\overline{\mathscr{B}},\varnothing\in\overline{\mathscr{B}}.$

设$X_1$和$X_2\textbf{ 是 两 个 集 合 , 记 }X_1\times X_2$为它们的笛卡儿积：

$$X_1\times X_2=\{(x_1,x_2)|x_i\in X_i\}.$$

规定$j_i:X_1\times X_2{\operatorname*{\to}}X_i$为$j_i(x_1,x_2){\operatorname*{=}}x_i(i{\operatorname*{=}}1,2)$,称$j_i$为$X_1{\operatorname*{\times}}X_2$ 到$X_i$的投射

设 $(X_1,\tau_1),(X_2,\tau_2)$ 是两个拓扑空间，现在我们要在笛卡尔积 $X_{1}\times X_2$ 上规定一个与已知的拓扑密切相关的拓扑$\tau$ 使得$j_i$ 是连续拓扑且是满足此要求的最小拓扑．

定理：构造$X_{1}\times X_2$ 子集族$\mathscr{B}=\{U_{1}\times U_{2}|U_{i}\in\tau_{i}\}$ 我们称 $\overline{\mathscr{B}}$ 是$X_{1}\times X_2$上的乘积拓扑 称 $(X_{1}\times X_2,\overline{\mathscr{B}})$ 是乘积空间 简写为 $X_{1}\times X_2$

用类似的方法可以规定有限个拓扑空间的乘积空间

拓扑空间的＂乘积”运算具有结合律，即

$$X_1\times X_2\times X_3=(X_1\times X_2)\times X_3=X_1\times(X_2\times X_3).$$

乘积空间的性质

由乘积拓扑的定义直接得到投射$j_i:X_1\times X_{2} \to X_i$的连续性。$j_i$还是开映射

设$Y$是任一拓扑空间，$f:Y\overset{\cdot}{\operatorname*{\operatorname*{\to}}}X_1\overset{\cdot}{\operatorname*{\operatorname*{\times}}}X_2$是一映射.称$f_i=j_i\circ f:Y{\to}X_i(i{=}1,2)$为$f$的两个分量(映射).

于是$f$与它的两个分量互相决定

定理：对于任何拓扑空间$Y$和映射$f:Y{\to}X_1{\times}X_2,f$连续$\Longleftrightarrow f$ 的分量都连续

拓扑基

乘积拓扑是用一个特定的子集族生成的．这种规定拓扑的方法在度量空间中已经用过．度量空间的开集是球形邻域的并集，也就是说度量空间的球形邻域族生成了度量拓扑 这是从拓扑的角度考虑度量空间的来源．拓扑基就是从以上方法中抽象出的一个一般性概念．

称集合$X$的子集族 $\mathscr{B} \textbf{ 为 集 合 }X\textbf{ 的 拓 扑 基 , 如 果 }$ $\overline{\mathscr{B}}$ 是 X 的一个拓扑；称拓扑空间($X, \tau ) \textbf{的 子 集 族 }\mathscr{B}$为这个拓扑空间的拓扑基，如果$\overline B=\tau.$

拓扑基考虑拓扑使用什么集合生成的

定理：$\mathscr{B} \textbf{ 是 集 合 }X\textbf{ 的 拓 扑 基 的 充 分 必 要 条 件 是 : }$

• $\bigcup_{B\in\mathscr{B}}B=X$ ;
• 若 $B_1,B_2\in\mathscr{B}$,则 $B_1\bigcap B_2\in\overline{\mathscr{B}}($也就是$\forall x\in B_1\bigcap B_2$,存在$B\in\mathscr{B}$,使得 $x\in B\subset B_1\bigcap B_2).$

定理： $\mathscr{B}$ 是拓扑空间$(X,\tau)$的拓扑基的充分必要条件为

• $\mathscr{B}\subset\tau(\text{即 }\mathscr{B}\text{ 的成员是开集)}$
• $\tau\subset\overline{\mathscr{B}}(\text{即每个开集都是 }\mathscr{B}\text{ 中一些成员的并集}).$

拓扑性质

分离公理与可数公理

欧氏空间和度量空间中有些熟知的性质在一般拓扑空间中可能要失去，分离性和可数性常作为附加性质，弥补拓扑公理的不足．因此它们本身也被称为公理．这里介绍这两个可数公理和四个较常用的分离公理

$T_1,T_2$ 公理

T1 公理：任何两个不同点 $x$ 与 $y$,$x$ 有邻域不含 $y$,$y$ 有邻域不含 $x$. T2公理：任何两个不同点有不相交的邻域

非常显然的， 只要满足$T_2$ 公理，那这个拓扑空间一定满足$T_1$ 公理，事实上，反过来是不成立的，我们可以举出反例

拓扑空间$(R,\tau_f)$ 当$x\neq y$ 的时候，$R-\{x\}$ 就是 $y$ 的邻域 而他不含$x$ 反过来也是这样的 所以这个空间满足$T_1$ 公理 而他们的邻域一定是相交的 因为他们的邻域都是有限集的余集，所以不满足 $T_2$ 公理

事实上 $T_1$ 公理的更主要含义如下

$$X\text{ 满足 }T_1\text{ 公理}\Longleftrightarrow X\text{ 的有限子集是闭集}.$$

从这个含义结合拓扑空间$(R,\tau_f)$ 能够更好的理解他的含义

$T_2$公理是最重要的分离公理．满足$T_2$公理的拓扑空间称为Hausdorff 空间；或者给出等价定义有：$(X,\tau)$为一个拓扑空间 如果$X$中的任何两个不同的点都有不相交的邻域 则称其为Hausdorff空间

$T_3,T_4$ 公理

$T_3$ 公理：任意一点与不含它的任一闭集有不相交的（开）邻域． $T_4$ 公理： 任意两个不相交的闭集有不相交的（开）邻域．

如果$X$ 满足 $T_1$ 公理，则它的单点集是闭集。因此我们可以从 $T_4$ 公理推出 $T_3$ 公理，从$T_3$ 公理推出 $T_4$ 公理。在没有$T_1$ 公理的前提下，这个推证不成立。反例为空间 $(R,\tau)(\tau=\{(-\infty,a)|-\infty\leqslant a\leqslant+\infty\})$ 满足 $T_4$ 但是不满足前三者

定理：度量空间$(X,d)$ 满足四条分离公理

想要证明他只需要证明他满足$T_1,T_4$ 公理即可

可数公理

我们这里介绍两个可数公理，分别是$C_1,C_2$ 公理。满足$C_i$ 公理的称为$C_i$ 空间，其中$C_2$ 空间也叫完全可分空间

邻域基的概念：设$x\in X$.把$x$的所有邻域的集合称为$x$的邻域系 , 记作$\mathcal{N}(x).\mathcal{N}(x)$的一个子集(即$x$的一族邻域)$\mathscr{C}$称为$x$的一个邻域基，如果$x$的每个邻域至少包含$\mathscr{U}$中的一个成员邻域基研究邻域的生成基础

$C_1$公理：拓扑空间的任一点都有可数的邻域基． $C_2$公理：拓扑空间$X$ 有可数拓扑基． $C_2$ 公理是一个很强的性质，部分度量空间也不满足$C_2$ 公理，比如经典的离散度量空间（这个空间根本没有可分性）

满足$C_2$公理一定满足$C_1$公理，这点可以从定义中自然推证得到，我们有可数的拓扑基以后可以自然的用它推出邻域基一定是可数的

$C_2$ 空间是可分空间，当具有可数拓扑基$\{B_n\}$ 以后，只要在$\{B_n\}$中取点$x_n$ 就可以得到稠密的可数子集 反过来可分空间不一定是$C_2$ 空间

可分度量空间是 $C_2$ 空间．参考泛函分析中的度量空间的可分性

拓扑性质的遗传性与可乘性

一种拓扑性质称为有遗传性的，如果一个拓扑空间具有它时，子空间也必具有它；一种拓扑性质称为有可乘性的，如果两个空间都具有它时，它们的乘积空间也具有它

• 可分性是可乘的，但没有遗传性
• 在分离性中，$T_1,T_2,T_3$公理都有遗传性和可乘性，$T_4$ 两种都无
• 两个可数公理也都有遗传性和可乘性

紧致性

这里我们回应度量中的 泛函分析中的度量空间的紧性 泛函分析中的度量空间中的开覆盖

紧致性与紧致度量空间

我们直接沿用曾经给出的对列紧的定义有：拓扑空间称为列紧的，如果它的每个序列有收敛（即有极限点）的子序列

事实上，在度量空间中研究序列不是一个好主意，因此我们基于开覆盖的方法对紧致给出定义有：拓扑空间称为紧致的，如果它的每个开覆盖有有限的子覆盖

从表面上看，列紧与紧致似乎没有直接的关系，实质上它们是有着紧密联系的．对度量空间来说，这两种性质是等价的（泛函分析中可以给出证明）．对一般拓扑空间来说，它们并不是等价的，我们只讨论紧致概念．

定理：$\text{若 }X\text{ 是度量空间,则 }X\text{ 列紧}\Longleftrightarrow X\text{ 紧致}$

紧致空间的性质

一个拓扑空间$X$的子集$A$如果作为子空间是紧致的，就称为 $X$ 的紧致子集

定理：$A\text{是 }X\text{ 的紧致子集 }\Longleftrightarrow A\text{ 在}X\text{ 中的任意开覆盖有有限子覆盖}$

给出一些性质，这些性质我们在泛函分析中都见过类似的形式

• 紧致空间的闭子集紧致
• 紧致空间在连续映射下的像也紧致
• 定义在紧致空间上的连续函数有界，并且达到最大、最小值．

乘积空间的紧致性

容易看出，紧致空间不具备遗传性例如闭区间 $[a,b]$ 紧致，它的子集 $(a,b)$不紧致。但紧致性有可乘性 若 $X$ 与$Y$ 都紧致，则 $X\times Y$ 也紧致．

连通性

连通性引入

普通的几何中图形的“连通“性是一个非常直观的概念，它几乎无须给出数学定义．譬如，谁都知道，在圆锥曲线中，椭圆和抛物线是连通的，而双曲线是不连通的．然而，对千复杂一些的图形，单凭直观就不行了，例如

设 $E^2$(二维欧式空间)的一个子集 $X$ 是由 $A$ 和 $B$ 两部分构成的

$$A=\{(x,\sin\frac1x)\left|x\in(0,1)\},\right.\\B=\{(0,y)|-1\leqslant y\leqslant1\}.$$

单凭直观概念，很难判断 $X$ 是不是连通的．因此我们需要提出更加抽象的关于连通的定义

直观上的连通，可以有两种含义：

• 图形不能分割成互不＂粘连＂的两部分
• 是图形上任何两点可以用图形上的线连结

在拓扑学中，这两种含义分别抽象成“连通性”和“道路连通性“两个概念，事实上，前面给出的例子是连通的，但是并不道路连通

连通性定义

定义：拓扑空间 $X$ 称为连通的拓扑空间，如果它不能分解为两个非空不相交开集的并

显然的，下面的叙述可以作为其等价定义

• $X$ 不能分解为两个非空不相交闭集的并
• $X$ 没有既开又闭的非空真子集；
• $X$ 的既开又闭的子集只有 $X,\phi$

$(R,\tau_f)$是连通的，因为它的任意两个非空开集一定相交；$(R,\tau_c)$ 也是连通的．双曲线不连通，它的两支是互不相交的非空闭集．

然而，许多直观上连通的空间按照上面的定义来判断并不马上能得出结论，例如 抛物线、椭圆的连通性就是如此．我们常常根据连通的一些性质，从一些已知连通空间来论证其他空间的连通性． $E^1$ 的连通性是我们的出发点

连通空间的性质

定理：连通空间在连续映射下的像也是连通的

我们常用这个定理来研究空间的连通性 比如复空间$S^1$ 可以用$f(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi x}$从$E^1$ 得到

定义：$E^1$ 的子集称为区间

定理：$设A\subset E^1,则A连通\Longleftrightarrow A是区间$

定理：连通空间上的连续函数（函数自带映射到$E^1$）取到一切中间值（即像集是区间）．

定理（连通覆盖）：如果$X$有一个连通覆盖$\mathscr{U}(\mathscr{U}$中每个成员都连通),并且$X$有一连通子集$A$,它与$\mathscr{U}$中每个成员都相交，则$X$连通. 常用这个定理判断连通性

定理：连通性是可乘的

连通分支

连通分支是研究不连通空间时引出的一个概念

定义 ：拓扑空间 $X$ 的一个子集称为 $X$ 的连通分支，如果它是连通的，并且不是 $X$ 的其他连通子集的真子集． 连通分支就是极大连通子集

当 $X$ 连通时，它只有一个连通分支，就是 $X$ 自身．

定理 ：$X$ 的每个非空连通子集包含在唯一的一个连通分支中

道路连通性

道路连通是在直观连通概念基础上演化来的另一个拓扑性质．对于它，“道路”是关键概念

道路

道路概念是“曲线”这种直观概念的抽象化．曲线可看作点运动的轨迹．如果把运动的起、终时刻记作 0 和 1 ，那么运动就是闭区间 $[0,1]$ 到空间的一个连续映射，曲线就是这个映射的像集．拓扑学中把这个连续映射称作道路，它比像集包含更丰富的含义

定义：设 $X$ 是拓扑空间，从单位闭区间 $I=[0,1]$ 到 $X$ 的一个连续映射 $a : I\to X$ 称为 $X$ 上的一条道路．把点 $a(0)$ 和 $a(1)$分别称为 $a$ 的起点和终点，统称端点．

道路是指映射本身，而不是它的像集．事实上可能有许多不同道路，它们的像集完全相同．在作图时，很难把映射表示出来，只能以它的像集代表它，并且画一箭头表示点运动的方向

如果道路 $a:I\to X$是常值映射，即 $a(I)$是一点，就称为点道路点。道路完全被像点 $x$ 决定

起点与终点重合的道路称为闭路，点道路就是闭路

定义 ： 一条道路$a: I\to X$的逆也是$X$上的道路，记作$\bar{a}$,规定为 $\bar{a}(t)=a(1-t),\forall t\in I$ 道路的逆就是研究调换起点和终点的道路

定义：$X$上的两条道路$a$与$b$如果满足$a(1)=b(0)$,则可规定它们 的乘积$ab$,它也是$X$上的道路，规定为

$$ab(t)=\begin{cases}a(2t),&0\leqslant t\leqslant1/2,\\b(2t-1),&1/2\leqslant t\leqslant1.&\end{cases}$$

下面列出关千逆和乘积的几个性质

• $\bar{e}_x=e_x$
• $\overline{(\bar{a})}=a$
• $\text{当 }ab\text{ 有意义时,}\overline{b}\bar{a}\text{ 有意义,且 }\overline{b}\bar{a}\boldsymbol{=}\overline{ab}.$

道路概念不仅在定义道路连通时有用，它也是代数拓扑学中一个重要的基本概念，是建立基本群的基础．

道路连通空间

定义 ：拓扑空间 $X$ 称为道路连通的，如果$\forall x,y\in X$,存在$X$中分别以$x$和 $y$ 为起点和终点的道路

这个定义的给出是非常自然的

定理：道路连通空间一定连通

我们需要给出一些简单的证明思路：道路连通可以保证空间的整个连通子集都在一个连通分支上。这样 $X$ 只有一个连通分支，即 $X$ 连通

道路连通空间也具有连通空间的某些性质

• 道路连通空间的连续映像是道路连通的
• 道路连通性也是可乘的

道路连通分支

在拓扑空间 $X$ 中，规定它的点之间的一个关系$\sim$：若点 $x$ 与$y$ 可用 $X$ 上的道路连结，则说 $x$ 与 $y$ 相关，记作 $x\sim y$．这是一个等价关系

定义：拓扑空间在等价关系$\sim$下分成的等价类称为$X$的道路连通分支，简称道路分支

正如同连通分支研究不连通空间一样，道路连通分支研究道路不连通的空间的，我们可以自然的给出下面的命题

• 任意$x\in X$属于$X$中的唯一道路分支
• $X$ 的每个道路连通的子集包含在某个道路分支中
• $X$道路连通的充分必要条件是它只有一个道路分支
• 拓扑空间的道路分支是它的极大道路连通子集

$X$的每个道路分支都连通，因此必包含在某个连通分支中，所以 **$X$ 的每个连通分支是一些道路分支的并集**

这条性质让我们能够把道路连通与连通的概念综合起来理解了

商空间与闭曲面

本章中，我们要讨论一类特殊的拓扑空间：闭曲面，它是拓扑学（特别是代数拓扑学和低维拓扑学）中最重要的研究对象之一

商空间概念给出了一种从已有拓扑空间构造新空间的方法，这种方法在代数拓扑学中是很有用的，它也将是本章研究闭曲面时所用的主要方法，这一章也是衔接点集拓扑学和代数拓扑学的核心章节

几个常见的曲面

在曲面中，除了平面 $E^2$ 和球面 $S^2$外，最常见的是平环、Mobius 带、环面、 Klein 瓶和射影平面。它们都可以用矩形面块经过粘合而得到

平环和 Mobius 带

把矩形面块弯曲并将两侧边粘接，得到一截圆柱面。它同胚千平面上由两个同心圆所夹的环带，因此拓扑上称它为平环．确切地说，平环是一个拓扑等价类中诸空间的统称，不论这个空间确实是一环带，还是圆柱面或其他形状，只要属于该拓扑等价类，都称作平环。

制造平环时，只要将矩形弯曲而不要拧转，因此矩形两侧边上同高度的点相粘合．如果先将矩形拧转 180° ，再将两侧边粘接，所得空间就是著名的Mobius 带

从直观上看， Mobius 带与平环有许多不同之处

• 平环的边界是两条封闭曲线，Mobius 带的边界是一条封闭曲线．
• 平环是双侧的， Mobius 带是单侧的
• 平环的中线割开可将平环分割成两个平环，而沿 Mobius 带的中线割开得到的还是连通的一个曲面，实际上这样切割后就是一个平环（增加了一个边界）

环面和 Klein 瓶

环面和 Klein 瓶都可以用一截圆柱面（平环）将两个截口互相粘接而得到

如果每一直母线段的两端粘合，所得到的是环面，此时两个截口是以相同的方向相粘接的。和平环一样，环面和其他曲面都是一个拓扑等价类中空间的 统称

如果让两个截口方向相反地粘接，则得到 Klein 瓶。要实现这样的粘接，必须将圆柱面弯曲后，把一端穿过管壁进入管内与另一端相接．在 3 维空间中这是做不到的，因为在进入管内之处必然要相交．但在 4 维空间中可以实现（让相交点的第四个坐标不同，从而把它们分开）．

Klein 瓶也是单侧的，他和环面这个双侧的曲面不同胚。

射影平面

射影平面记作$P^2$，它是射影几何学中的概念

在拓扑学上，我们使用圆盘$D^2$来构造他。我们把边界$S^1$ 上的每一对对径点（同一个直径上的两个端点）粘合，得到射影平面。

这种粘接直观上就不好理解了，3维欧式空间是做不到的，在4维空间中可以实现，但是依旧不好想象

用 粘合 方法制造新拓扑空间是拓扑学中常用的一种方法．各种复杂的粘合在直观上很难让大家理解，我们需要一种全新的数学工具来帮助我们处理这个问题，无论是否直观，我们都需要一种语言来描述粘和得到的空间

商空间

商空间

设拓扑空间 $X$ 上作某种粘合得到新空间。如果把要粘在一起的点称为互相等价的点， $X$ 上就有了一个等价关系，每个等价类被粘合为新空间上的一个点。

因此新空间的集合就是等价类的集合，一般地，一个集合 $X$ 上如果有等价关系$\sim$，相应的等价类的集合记作 $X/\sim$，称为 $X$ 关于 $\sim$ 的商集

把 $X$ 上的点对应到它所在等价类，得到映射$p:X\to X/\sim$ ，称为粘合映射 设 $X$ 已有了拓扑，现在我们来规定 $X/\sim$ 上的一个拓扑

定义：设是 $( X, \tau )$是拓扑空间，$\sim$是集合 $X$ 上的一个等价关系，规定商集 $X/\sim$ 上的子集族

$$\widetilde{\tau}:=\left\{V \subset X / \sim \mid p^{-1}(V) \in \tau\right\}$$

我们可以证明这是商集 $X/\sim$ 上的一个拓扑，称为$\tau$ 在等价关系 $\sim$ 下的商拓扑，并把$(X/\sim,\widetilde{\tau})$ 称为原本的拓扑空间在等价关系 $\sim$下的商空间

定理：设$X,Y$ 是两个拓扑空间，$\sim$ 是一个$X$ 上等价关系，$g:X / \sim \to Y$ 是一个商空间到一般拓扑空间上的一个映射。 则 $g \text{ 连续}\Longleftrightarrow gp\text{连续}$ 很自然的，我们用两个连续映射复合得到连续映射（$p$是连续映射）

有了商空间的概念就能抽象的研究粘合的过程了

我们举出一个常用的空间的例子

设 $A$ 是拓扑空间 $X$ 的一个子集（通常是闭子集），把 $A$ 捏为一点（也就是将 $A$ 看作一个等价类，别的点各自成一等价类），得到的商空间记作 $X/A$

对任一拓扑空间 $X$ ，记 $CX = X\times I / X\times \{1\}$，称为 $X$ 上的拓扑锥

商映射

商映射和商空间是密切相关的概念．可以说它们是从不同的角度看同一事物．商映射是从映射的角度观察，更有利于加深认识

定义：设 $X$ 和 $Y$ 是拓扑空间，映射 $f:X\to Y$ 称为商映射，如果

1. $f$ 连续
2. $f$ 是满的
3. $\text{设 }B\subset\text{Y,如果 }f^{-1}(B)\text{是 }X\text{ 的开集,则 }B\text{ 是}Y\text{ 的开集}$ 1,3保证了 商映射保持开集的结构

此时，我们可以用商映射的思路改写上小节给出的定理有 定理：若$f:X{\to}X^\prime$是商映射，$g:X^\prime{\to}Y$是一映射，则$g$ 连续$\Longleftrightarrow g$$f$ 连续

从这个定理我们能看出，商映射其实就是将黏合映射$p$单独抽象出来进行研究了，他们的本质问题是一样的

关于商映射的判定有

• 连续的满映射 $f:X\to Y$ 如果还是开映射或闭映射，则它是商映射
• 如果 $X$ 紧致， $Y$是Hausdorff 空间，则连续满映射 $f:X\to Y$ 是商映射
• 商映射的复合也是商映射

拓扑流形与闭曲面

流形

球面、环面以及我们熟悉的其他曲面从整体上看比平面复杂多了，但是在局部上，它们每一点的近旁都有一块区域同胚于平面．这种特性使得我们可以在局部的范围内应用分析学工具对它进行研究

粗略地讲，具有局部欧氏特性的拓扑空间称之为流形。流形是比较复杂的概念，在不同的研究领域还要求它带有各种特殊的结构．下面定义的拓扑流形是最一般的流形

定义：一个 Hausdorff 空间 $X$ 称为 $n$ 维拓扑流形，如果 $X$ 的任一点都有一个同胚于 $E^n$ 或 $E^n_+$ 的开邻域

这里$E_+^n$是半个$n$维欧氏空间，规定为

$$E_+^n:=\{(x_1,x_2,\cdotp\cdotp\cdotp,x_n)\in E^n|x_n\geqslant0\}.$$

根据以上定义，容易知道$E^n,S^n,T^n$ 都是$n$ 维流形，而二次锥面并不是流形，因为顶点不能找到同胚欧式空间的开邻域

设$M$是$n$维流形 点 $x\in M$如果有同胚于$E^n$的开邻域，就称$x$是$M$的内点(注意此概念区别于第一章给出的子集内点的概念),否则称为边界点.全体内点的集合称为$M$的内部 , 它是$M$ 的一个开集.

要让以上概念明确，我们还必须承认一些事实,$n\neq m$时$E^n\not\cong E^m($否则流形的维数就失去意义了);还有 ,$E_+^n\not\cong E^n($否则就没有内点与边界点的区分了)

如果 $n$ 维流形有边界点，则记 $\partial M$ 是它的边界点的集合．可以证明 $\partial M$是一个没有边界点的$(n — 1)$维流形

闭曲面

二维流形称为曲面如 $E^n,S^n,T^n$ 平环和 Mobius 带都是曲面，前三个没有边界点

定义：没有边界点的紧致连通曲面称为闭曲面

前面介绍的五个曲面只有$S^n,T^n$ 是闭曲面，射影平面$P^2$是闭曲面，Klein 瓶也是闭曲面