Advanced Algebra: Algebra Foundations

多项式

数域与多项式

定义（数域）：一种代数结构，集合内元素的和差商积还在这个集合内的数集称为数域。

定义（一元多项式）：形如$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$ 其中$a_i$在数域$P$上，我们称为数域$P$上的一元多项式。

零多项式：所有系数都是0；零次多项式：最高次数为0，也就是常数。

多项式除法

多项式的加法，减法，乘法凭借高中的知识可以轻松的处理，这里我们探讨研究得比较少的多项式除法。也就是带余除法。

将一个多项式  $f(x)$  除以另一个非零多项式  $g(x)$ ，得到商  $q(x)$  和余数  $r(x)$ 。满足以下关系：

$$f(x)=g(x)q(x)+r(x),\quad\deg(r(x))<\deg(g(x)).$$

自然的，被除数$f(x)$应该有着更高的次数，否则无法进行。

示例：$\text{算 }f(x)=x^3-4x^2+6x-8\text{ 除以 }g(x)=x-2$

$$\begin{array}{ll} \text{步骤 1：计算商的第一项} & \frac{x^3}{x} = x^2, \\ & x^2 \cdot (x - 2) = x^3 - 2x^2. \\ \text{更新被除多项式：} & (x^3 - 4x^2 + 6x - 8) - (x^3 - 2x^2) = -2x^2 + 6x - 8. \\[10pt] \text{步骤 2：计算商的第二项} & \frac{-2x^2}{x} = -2x, \\ & -2x \cdot (x - 2) = -2x^2 + 4x. \\ \text{更新被除多项式：} & (-2x^2 + 6x - 8) - (-2x^2 + 4x) = 2x - 8. \\[10pt] \text{步骤 3：计算商的第三项} & \frac{2x}{x} = 2, \\ & 2 \cdot (x - 2) = 2x - 4. \\ \text{更新被除多项式：} & (2x - 8) - (2x - 4) = -4. \\[10pt] \text{最终结果：} & f(x) = (x^2 - 2x + 2)(x - 2) - 4. \end{array}$$

当余式为0的时候，我们写作$f(x)=g(x)h(x)$，称后两者为$f(x)$的因式，称为整除关系，并且将这种关系记做$g(x)|f(x)$

对于这种关系，我们有下列的性质

• $f(x)|g(x)~~~g(x)|f(x)\Rightarrow f(x)=cg(x)$
• 传递性：$f(x)|g(x)~~~g(x)|h(x)\Rightarrow f(x)|h(x)$
• 组合性：$f(x)|g_{i}(x)\Rightarrow f(x)|g(x)\text{ 的任意线性组合}$

综合除法

综合除法（Synthetic Division）是一种高效的算法，用于对多项式进行带余除法。当被除多项式  $f(x)$  被除数是形式为  $x - c$  的一次多项式时，综合除法能够快速得出商和余数。它比传统的多项式长除法更简洁、运算更高效。

对于一个综合除法问题

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0=(x_0-c)(b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_0)$$

我们有下面的递推式

$$b_{n-1}=a_{n}\quad b_{n-2}=a_{n-1}+cb_{n-1}(a_{n-1}=b_{n-2}-cb_{n-1})$$

关于方幂和，也就是如下多项式表达形式

$$a_{n}(x_{0}+c)^{n}+a_{n-1}(x_{0}+c)^{n-1}+\cdots+a_{0}$$

我们只需要不断除$x-c$使用综合除法就可以了。

如果原始被除数是$ax+b$ 则应该提为$a(x+\frac{b}{a})$ 最后把结果再除$a$

最大公因式

定义：对于多项式来说，最大公因式（Greatest Common Divisor，GCD）是指两个或多个多项式共有的因式中次数最高的一个。 最大公因式是两个多项式所有因式的因式。

引理：

$$f(x)=q(x)g(x)+r(x)\Rightarrow f(x),g(x)\text{ 与 }g(x),r(x)\text{ 有相同公因式}$$

根据该引理，求最大公因式的方法已经很明确了。

我们先使用$f(x),g(x)$的带余除法，然后取出余$r(x)$，被除数$g(x)$ ，用两者中次数高的除以次数低的，直至余为0。 上一个余式就是最大公因子。

如果无法让余为0，则最大公因式是0次多项式，也就是$(f(x),g(x))=1$ 称为多项式互素。

关于互素可以给出下面的结论

• $(f(x),g(x))=1\Longleftrightarrow u(x)f(x)+v(x)g(x)=1$
• $(f(x),g(x))=1\quad f(x)|g(x)h(x)\quad\Rightarrow f(x)|h(x)$
• $f_1(x)|g(x),f_2(x)|g(x)\text{且}(f_1(x),f_2(x)=1\Rightarrow f_1(x)f_2(x)|g(x)$

定理：$\text{若 }d(x)=(f(x),g(x))\text{ 则 }\exists v(x) u(x) \text{ 使得 } d(x)=v(x)f(x)+u(x)g(x)$

该定理的证明需要进行辗转相除法，直到计算出$d(x)$，然后不断从上到下回带余数即可

因式分解定理

观察下面的式子

$$\begin{matrix}x^{4}-2=(x^{2}-2)(x^{2}+2) \\x^{2}-2=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}) \\x^{2}+\sqrt{2}=(x-\sqrt{2}i)(x+\sqrt{2}i) \end{matrix}$$

容易看出，是否可以继续进行因式分解取决于多项式的数域选择，只有明确研究的数域，因式分解才有意义

定义：在数域$P$上，如果$p(x)$不能分解为两个更低次多项式的积，则称$p(x)$是数域$P$上的不可约多项式。

因此可以给出定理：不可约多项式$p(x)$的因式只有$c,cp(x)$，该定理的逆定理也成立。

同理，对于不可约多项式$p(x)$，有$(p(x),f(x))=1$ 或 $(p(x),f(x))=p(x)$；如果$p(x)|f(x)g(x)$ 则 $p(x)|f(x)$或$p(x)|g(x)$

定理（因式分解定理）：任何多项式$f(x)=p_{1}(x)p_{2}(x)\cdots=q_{1}(x)q_{2}(x)\cdots$，则一定能经历若干次变换使得$p_{i}(x)=kq_{i}(x)$，其中$p(x),q(x)$均不可约。也就是说，因式分解具有唯一性。

重因式

定义：若$p^{k}(x)\mid f(x)$ 且 $p^{k+1}(x)\nmid f(x)$ 则称$p(x)$是$f(x)$的$k$重因式，他会经常出现在我们标准分解式中。

不难发现，如果$p(x)$是$f(x)$的$k$重因式，那么$p(x)$是${f}'(x)$的$k-1$重因式，当求$k$阶导的时候，$p(x)$不再是因式了

若$p(x)$是${f}'(x)$的$k-1$重因式，不能保证$p(x)$是$f(x)$的$k$重因式，因为可能差一个常数，但是如果是因式的话，那一定是$k$重。

没有重因式的充要条件式$(f(x),{f}'(x))=1$，$f(x)$的重因式为$(f(x),{f}'(x))$ 这个性质将是我们研究重因式的最常见方法。

常见处理：

• 找重因式，计算$(f(x),{f}'(x))$
• 去重因式，计算$(f(x),{f}'(x))=p^k(x)$ 则重因式为$p^{k+1}(x)$ 则$\frac{f(x)}{p^{k+1}(x)}$ 就实现了去重因式。

多项式函数

多项式函数建立多项式这个代数问题与函数这个分析问题的联系，在很多问题的解决中都有使用。

定义：称${f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots+a_{0}}$ 为多项式函数

定理（余数定理）：用$x-\alpha$除以多项式$f(x)$我们能得到$f(x)=(x-\alpha)h(x)+c$ 这样的除法有两条优秀的性质

• 多项式代入$x=\alpha$ 则 得到余数 $c$
• $(x-\alpha)|f(x)\Longleftrightarrow\alpha 是f(x)=0的一个解$

定义：若$x-\alpha$是$f(x)$的$k$重因式，则称$\alpha$是$f(x)$的$k$重根

定理：$n$次多项式至多$n$个根，重根按重数计算

定理：不同多项式不可能定义出相同的函数

定理：对于两个多项式$f(x),g(x)$ 如果有$n+1$个$\alpha_i$使得$f(\alpha_i)=g(\alpha_i)$ 则有$f(x)=g(x)$

定理（韦达定理）：对于$n$次多项式的$n$个根有

• $\sum_{i=1}^{n}x_{i}=-\frac{a_{n-1}}{a_{n}}$
• $\prod_{i=1}^{n}x_{i}=(-1)^{n}\frac{a_{0}}{a_{n}}$

不同系数域的多项式

复系数多项式

根据Gauss提出的多项式基本定理：复系数多项式可以分解为多个一次多项式的积，也就是如下分解式

$$f(x)=a_{n}(x-\alpha_{1})^{l_1}(x-\alpha_{2})^{l_{2}}\cdots$$

这个定理也解释了为什么$n$次复系数多项式一定有$n$个根，重根按重数计算

实系数多项式

定理：对于实系数多项式，如果$\alpha$ 是 $f(x)$的一个复根，那么$\bar{\alpha}$一定是$f(x)$的的另一个复根。

也就是说：实系数多项式的复根成对，实根单独，一次多项式因式对应实根，二次多项式因式对于复根

分解式为

$$f(x)=a_{n}(x-c_{1})^{l_{1}}(\ldots)(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{k_{1}}(\ldots)\cdots$$

有理系数多项式

有理系数多项式存在任意次数的不可约因式，导致有理系数多项式问题非常的复杂，我们只能讨论其中的部分典型问题。

对于有理系数多项式$f(x)$，他一定能通过乘一个系数的方式变为整系数多项式$g(x)$

定义：系数互素的$g(x)$称为本原多项式

那么，有理系数多项式至多存在两个对应的本原多项式，且两者之间差一个负号。研究有理系数多项式问题都可以转化为本原多项式研究

多项式重要定理

本原多项式

定理（高斯引理）：两个本原多项式的积还是一个本原多项式

定理（分解定理）：当整系数多项式能分解为两个有理系数多项式的积的时候，他一定可以分解为两个本原多项式的积。

定理（分解定理逆定理）：若$f(x),g(x)$是整系数多项式，$g(x)$是本原多项式，$f(x)=g(x)h(x)$ 且 $h(x)$是有理系数多项式。则$h(x)$是整系数多项式

r s 定理

$\frac{r}{s}$定理是研究整系数多项式的有理根的定理

定理：对于整系数多项式$f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots+a_{0}$ 如果$\frac{r}{s}$是他的一个根，那一定有$r|a_0,s|a_n$ 如果$a_n=1$ 那么$f(x)$的所有有理根是整数并且是$a_0$的因子。

这个定理告诉我们，只需要找到$a_0,a_n$的所有因子（包括1和他自己），组合生成的有理数就是所有可能的有理根，代入研究就可以找到全部的有理根了

猜测可能的解的时候需要同时猜$+\frac{r}{s},-\frac{r}{s}$

艾森斯坦因判别法

这个方法可以帮助我们判断一个整系数多项式在有理数域下不可约

定理：对于整系数多项式$f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots+a_{0}$ ，如果有素数$p$ 满足 $p\nmid a_{n},p\mid a_{n-1}...a_{0},p^{2}\nmid a_0$ 则$f(x)$在有理数域下不可约

注意：

• 仅为充分条件而不是必要的
• 这个方法需要已知大量的多项式系数
• 当很多系数不清楚的时候，可以考虑用$x+1,x-1$替换$x$再进行判断，因为$f(x)$没有有理根和$f(ax+b)$没有有理根是等价的

行列式

引入

方程组的解是数学中非常重要的一个问题 无论是ode pde 还是普通的代数方程 都非常值得我们的研究 线性方程组（多元一次方程组）是其中比较基础的一类 他也是我们研究行列式 矩阵理论的一个引入问题；

对于二元一次方程组

$$\begin{align} a_{11}x_1+a_{12}x_2&=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2&=b_2 \end{align}$$

如果 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\ne 0$ 也就是系数行列式不等于0 方程组有唯一解 这个结论就是我们后面将要研究的内容

排列

定义： 1 2 3 4 组成的有序数组称为一个$n$阶排列

核心点为 有序数组 并且个数有限

自小到大的排列称为自然排列 如 1 2 3 4；大的数在小的数前面的情况称为逆序 如 1 3 2，每当出现一组这样的情况 我们记逆序数+1 记作$T(j_{1} j_{2} j_{n})$ 如 $T(1234)=0$ $T(2134)=1$

逆序数的最大值为$C_{n}^{2}$ 也就是每个元素都逆序

逆序数为偶数称为偶排列 反之称为奇排列

对换：交换排列中任意两个数 一定会改变排列的奇偶性

推论：所有的$n$阶排列中 奇排列个数和偶排列个数一致 都为$n!\div 2$ 所有的$n$阶排列都是$n$阶自然排列进行一定次数的对换 对换次数的奇偶 就是排列的奇偶

n阶行列式

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$

这就是行列式的最基本计算方程 行标自然排列 列标的逆序数决定的正负号 即$(-1)^{T(列)}$，并且每一项的行标列标不应相等 不要出现同一行或者同一列的元素相乘

下面介绍一些常见的基础行列式

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =\sum_{1}^{n} (-1)^{j_{1}j_{2}j_{n}} a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}a_{nj_{n}}$$

这是行列式的核心形式

$$\begin{vmatrix} a_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{4} \end{vmatrix} = a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}$$

这是对角型行列式

$$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & a_{1} \\ 0 & 0 & a_{2} & 0 \\ 0 & a_{3} & 0 & 0 \\ a_{4} & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} =a_{1}a_{2}a_{3}a_{4} (-1)^{n(n-1)\div 2}$$

这是反对角行列式 最后乘的是逆序数 明显的 这个逆序数就是$C_{n}^{2}$

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}a_{nn}$$

这是三角形行列式 反三角同理 添加逆序数就好了

最后 我们给出一个推广结论 推论：我们逆序数不仅可以用行标自然的时候 列标的逆序数研究 也可以用列标自然的时候 行标的逆序数研究 或者随意排列 行标和列标的逆序数和表示

这意味着 行列式的行和列的意义区分是认为给定的 在数学上理论上不应区分 在下一节我们会给出进一步解释

行列式的性质

转置

行列互换 行列式的值不变 这意味着下面研究的所有对行成立的性质对列也成立

提公因子

如下 可以采用行列式的定义证明

$$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ka_{i1}&ka_{i2}&\cdots&ka_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix} =k\ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$

值为0

根据前一个性质 只要有一行全为0 行列式的值就为0 因为他们可以提出公因子0

拆分

$$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}+b_{i1}&a_{i2}+b_{i2}&\cdots&a_{in}+b_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{i1}&b_{i2}&\cdots&b_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$

证明这个原理需要进行展开 这个结论需要一次拆分一整行 所以运用起来可能需要稍微构造才能满足需求

推论1

行列式有两行一一对应 行列式的值为0 证明：研究展开式 一定存在逆序数正负不同但是绝对值一样的两项

推论2

两行一一成比例 行列式的值为0 证明：结合推论1和提公因性质

推论3

把一行的k倍加到另一行 行列式的值不变 证明：结合提公因子和行列式值为0的性质展开证明

推论4

交换两行的位置 行列式的值是原来的相反数 证明：交换两行的位置是靠推论3中加一行的k倍来实现的

行列式的普通展开

普通展开式针对与某一行或者某一列来谈的 下面是他的表示

$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| &=a_{11}\left|\begin{array}{ccc} a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| -a_{12}\left|\begin{array}{ccc} a_{21} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| +\cdots+(-1)^{1+n}a_{1n}\left|\begin{array}{ccc} a_{21} & \cdots & a_{n-1,2} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n-1,n} \end{array}\right|\\ & \end{aligned}$$

事实上 我们能看到 展开后的行列式是划掉了某一行和某一列的低阶行列式 行列式的展开的意义就是降低了行列式的阶数 简化我们的运算

定义：在$n$阶行列式中，划掉$a_{ij}$所在的第$i$行和第$j$列，能够得到一个$n-1$阶的行列式，我们称为余子式，记作$M_{ij}$

定义：称$A_{ij}=(-1)^{i+j}~~M_{ij}$为代数余子式

展开可以容易的使用代数余子式和余子式的形式表示

推论：在行列式中 某行元素和另一行元素的代数余子式积为0

明显的 只有某一行或者某一列存在大量的0 行列式的展开才能起到降低运算难度的作用

拉普拉斯展开

实际上 展开可以针对多行或者多列 这就是拉普拉斯展开 前面的普通展开是拉普拉斯展开的一种特殊形式

推广余子式和代数余子式：$n$阶行列式任取$k$行$k$列，交点处$k^2$个元素，让他们用原来的顺序组成一个$k$阶子式，剩下的组成$n-k$阶余子式。事实上，他们在转置行列后等价，互为子式

定义：代数余子式为${A} ' = {M} ' -1^{i_1+i_2+...+j_1+j_2+...}$ 其中 $i,j$是子式取的行列 $M$是余子式。

引理：任意子式$M$和他的代数余子式${A} '$的积就是展开中的一项

定理（拉普拉斯定理）：对于$k$行（列）的展开，需要在$k$行（列）找到所有的$k$阶子式（设为$t$个）则有拉普拉斯展开为$D=M_1A_1+\cdots+M_tA_t$得到原本行列式$D$的值

注意：

• 要保证去遍所有子式，也就是$t=C_{n}^{k}$
• 展开时，行和列的顺序不可以发生变动

范特蒙德行列式

我们将下面形式的行列式称为范特蒙德行列式

$$\begin{vmatrix} 1&1 &1 &1 &\cdots &1 \\ a_1&a_2 &a_3 &a_4 &\cdots &a_n \\ a_1^2&a_2^2 &a_3^2 &a_4^2 &\cdots &a_n^2 \\ \cdots&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ a_1^{n-1}&a_2^{n-1} &a_3^{n-1}&a_4^{n-1} &\cdots &a_n^{n-1} \end{vmatrix}$$

这个行列式的的值为所有的$a_i-a_j$的积，其中$1\le i \le j\le n$ 因此他为0的条件是存在一个$a_i=a_j$

想要证明范特蒙德行列式的值的性质需要使用归纳法，我们这里只需要知道这样的特殊形式的行列式的值非常容易计算就可以了。

行列式经典练习

加边法与箭型行列式

加边法是反向利用展开的一种方法，思想为增加行列式的维数，其中所加的行（列）为1 0 … 0 列（行）可以自由选择。经过这样的加边后可以生成一个容易进行性质化简的行列式，且行列式的值不变。

求下面行列式的值

$$\begin{vmatrix} a& b& b&b \\ b& a& a&a \\ ...& ...& ... &a \end{vmatrix}$$

我们首先考虑加边为全$b$ 方便化简，如下

$$\begin{vmatrix} 1& 0& ...&0 \\ b& a&b &b \\ b& b& a&b \\ b& ...& ... & a \end{vmatrix}$$

把第一行的-1倍加到后面有

$$\begin{vmatrix}1&-1&-1&\cdots&-1\\b&a-b&&\\b&a-b&&\\b&&\ddots&a-b\end{vmatrix}$$

我们得到了一个箭形行列式。

对于箭形行列式，我们一般把最后一列的$-\frac{b}{a-b}$ 加到第一列，得到0 然后不断重复操作，把第一列全部化为0（除了第一行） 至此就是一个三角行列式了。

本题还有另一种做法，利用行和相等的性质将从$2$到$n$列全部加到第一列

$$\begin{vmatrix}a+(n-1)b&b&\cdots&b\\a+(n-1)b&a&b&b\\a+(n-1)b&b&\cdots&a\end{vmatrix}$$

此时我们可以提公因子得到一列1，使用这个1列对后面的列进行化简。

反称行列式

当$a_{ij}=a_{ji}$的时候，称行列式为对称行列式；当$a_{ij}=-a_{ji}$的时候，称行列式为反称行列式；

证明：奇数阶反称行列式的值为0

我们需要使用稍微巧妙的构造来实现证明

容易知道$a_{ii}=-a_{ii}$ 则 $a_{ii}=0$ 那么有

$$d=\begin{vmatrix} 0&\text{正} \\ \text{负}&0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0&\text{负} \\ \text{正}&0 \end{vmatrix}=(-1)^n\begin{vmatrix} 0&\text{正} \\ \text{负}&0 \end{vmatrix}$$

所以

$$d=(-1)^nd$$

而$d$是奇数，因此$d=0$

分块行列式

$$\begin{vmatrix} a_1& a_2& 0&0 \\ a_3& a_4& 0&0 \\ 0&0 &b_1 &b_2 \\ 0& 0&b_3 &b_4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1&a_2 \\ a_3&a_4 \end{vmatrix}\times \begin{vmatrix} b_1&b_2 \\ b_3&b_4 \end{vmatrix}$$

也就是说，对于分块行列式，原本证明的行列式结论都生效，其余结论不再证明。

递推与归纳

求下面行列式的值

$$\begin{vmatrix} x& 0& 0& \cdots &a_0 \\ -1& x& \vdots& \vdots&a_1 \\ 0& -1& x& \vdots&a_2 \\ \cdots & 0& -1& x&\vdots \\ 0& \cdots & 0 & -1&x+a_{n-1} \end{vmatrix}$$

首先用运算消掉$x$ 此时对角线上$x$全部可以消除

然后对第一行展开，剩下的行列式是对角线为$-1$的三角形行列式 为

$$(-1)^{n-1}\times(\cdots x(x(x(x+a_{n-1})+a_{n-2})+a_{n-3})\cdots)$$

这是一个$n$次多项式，借助展开后的相似性，可以给出下面的递推

$$\begin{matrix} D_{n}=xD_{n-1}\times a_{0}\times(-1)^{n+1}\times(-1)^{n-1}=xD_{n-1}+a_{0}\\ D_{n-1}=xD_{n-2}+a_1\\ ...\\D_{3}=xD_{2}+a_{n-3} \end{matrix}$$

最后得到

$$D_{n}=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}$$

线性方程组

我们在本文“行列式#引入”部分中介绍了，行列式的出现就是为了帮助我们解决一些线性方程组相关的问题，从本章开始我们正式开始研究方程组。

克拉默法则

本节我们研究方程个数与未知量个数相等的方程组，也就是下面的形式

$$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=b_1\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots +a_{nn}x_n=b_n\end{matrix}\right.$$

他等价于$\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j=b_i$

当所有的$b_i$等于0的时候，我们称为齐次线性方程组，反之称为非齐次线性方程组。这就是我们的核心研究对象。

克拉默法则研究解的情况，分为下面三个核心命题

• 是否有解
• 解是否唯一
• 解究竟是什么

我们抽象方程组其中的系数行列式有\

$$A= \begin{vmatrix} a_{11}&\cdots &a_{1n} \\ \vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n1}& \cdots &a_{nn} \end{vmatrix}$$

对于齐次线性方程组

• $A\ne0$ 方程只有唯一的解——零解，也就是$x_i=0$
• $A=0$ 有非零解，解不唯一

对于非齐次线性方程组

• $A\ne0$ 方程只有唯一解为$x=\frac{d_{i}}{d}$ 其中 $d=A,d_i$是将第$i$列换为列$b$后行列式的值
• $A=0$ 解不唯一 或者无解

相关性质存在逆否命题：如果方程的个数等于未知量的个数，并且方程无解或者解不唯一，那么$A=0$

高斯消元

克拉默法则研究方程个数和未知量个数相等的情况，现在我们打破$m=n$ 研究更加广泛的方程组求解问题。

为了方便表示，我们从本节开始使用矩阵来表示方程组，至于关于矩阵的详细论述则留给高等代数2 矩阵和线性空间

一个一般的线性方程组被表示为下面的形式

$$\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}&b_1 \\ \cdots& \cdots& \cdots& \cdots& \cdots\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}&b_m \end{pmatrix}$$

我们应该如何求解这样的方程呢？ 用一个例子来说明，研究方程

$$\begin{pmatrix} 2&-1 &3 &1 \\ 4& 2& 5&4 \\ 2& 1& 3&5 \end{pmatrix}$$

我们使用最后一行把第一列化为0

$$\begin{pmatrix} 2&-1 &3 &1 \\ 0& 4& -1&2 \\ 0& 2& -1&4 \end{pmatrix}$$

在将最后一行的第二列化为0（利用第二行）

$$\begin{pmatrix} 2&-1 &3 &1 \\ 0& 4& -1&2 \\ 0& 0& 1&6 \end{pmatrix}$$

现在方程组被我们化为了一个很简单的形式，靠一些简单的计算就能解出

$$x_1=9,x_2=-1,x_3=-6$$

我们刚才使用的变换方法有三种

• 变换两行位置
• 某行扩大到原来的$k$倍
• 把某行加到另一行 我们可以证明这样的操作保持的方程解的不变性

事实上，高斯消元就是在将原本的矩阵（方程组）通过保持同解的行变换，变换为容易直接看出解的阶梯方程组的形式，也就去掉了其中等价的方程。

在阶梯化以后

• 出现常数等于0，意味着方程组无解
• 如果化简到最后方程个数和未知量个数相同，则只有一组解
• 如果方程个数小于未知量个数，则意味着无数组解，因为存在自由未知量，随便选取一组自由未知量就可以获得一组解。

向量知识补充

为了更高的研究线性方程组，我们需要补充研究向量相关的知识。代数学基础中需要补充的向量知识比较有限，解析几何中有更多的补充。

向量与空间

一个$n$元方程一次方程的标准形式如下

$$a_1x_1+\cdots+a_nx_n-b_1$$

他可以使用一个$n+1$维的向量来表示

$$(a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1)$$

向量是非常多种数据可以抽象为的形式，因此我们补充关于向量的知识。

定义：一个数域$p$上的$n$维有序数组称为一个向量，一二三维的向量在坐标系中都有很清楚的映射，更加高维的向量则无法那么直观的表示。

定义：向量相等意味着各个分量皆相等

定义：向量的加法是各个分量的对应相加

定义：各个分量都为0称为零向量

定义：向量数乘$k$意味着各个分量都数乘$k$

定义：负向量是数乘$-1$

定义：向量的减法就是加上负向量

根据前述定义，可以给出一些运算规律 其中$\alpha,\beta$是向量 $k,l$是数 $1,0$ 都是向量

• $k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$
• $(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$
• ${k}(l\alpha)=(kl)\alpha$
• $1\alpha=\alpha$
• $0\alpha=0$
• $k0=0$

定义（向量空间）：所有数域$P$上的$n$维向量构成的整体称为数域$P$上的$n$维向量空间，无论其是横向量还是纵向量

线性组合与线性相关

定义（线性组合）：如果$\alpha=k_1\beta_{1}+k_{2}\beta_{2}+\cdots+k_{n}\beta_{n}$

• 则称$\alpha$是$\beta_i$的一个线性组合，或者$\alpha$可以由$\beta_i$线性表出
• 如果向量组$\alpha$中的所有向量都可以被向量组$\beta_i$表出，则称向量组可被表出
• 如果两个向量组可以相互表出，则称为他们等价

向量组表出具有传递性，也就是$\alpha$被$\beta$表出，$\beta$被$v$表出 则$\alpha$被$v$表出

向量组的等价具有

• 自反性
• 对称性
• 传递性 我们将这样的关系称为 等价关系 向量组的等价是一个等价关系

定义（线性相关组）：如果一个向量组中的某一个向量可以被向量组内其他向量线性表出，则称该向量组是一个线性相关向量组。

对此可以自然的给出推论

• 含有0向量的向量组是线性相关向量组
• 如果两个向量的向量组是线性相关的，则$\alpha_1=k\alpha_2$

定义（线性相关组等价定义）：如果不全为0的$k_i$使得$k_1\alpha_1+\cdots k_s\alpha_s=0$ 则称该向量组为线性相关组，不是线性相关组就是线性无关组

推论：

• 线性无关组意味着只有所有$k$取0才使得等式成立
• 向量组$\alpha$的部分向量组相关，则向量组是线性相关组
• 如果向量组$\alpha$无关则他的非空部分组无关
• $n$维单位向量组线性无关

定理：想要判定一个向量组是线性相关函数线性无关，只需要列出方程$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=0$ 判断其是否存在非零解，如果存在就是线性相关组，这点就是定义的推论。

推论：如果方程只有0解（线性无关组），那么无论再增加多少方程（向量再增加几个分量），那他还是线性无关组（只有0解）

结论

• 若向量组$\alpha$可由向量组$\beta$表出且$\alpha$中向量的个数多于$\beta$中向量的个数 则有向量组$\alpha$线性相关
• 若$\alpha$由$\beta$表出，$\alpha$自身无关；则$\alpha$中向量的个数小于$\beta$中向量的个数
• $n+1$个$n$维向量线性相关
• 两个等价的线性无关组，有相同个数的向量

极大无关组

定义（线性无关组与极大无关组）：对于一个向量组$\alpha_{j}$ 从中抽取几个向量组成一个新的向量组 如果这个新的向量组天关 则称为向量组$\alpha_{j}$ 的线性无关组，若只要任意再添一个向量 这个向量组就会变成线性相关的 则称它为向量组$\alpha_{j}$ 的极大线性无关组 简称极大无关组

想要找到一个向量组的极大无关组，有两种方法

• 逐个添加法：先找到两个向量，然后再逐个添加向量组中的向量，判断是否还是线性无关组，如果是，则接受这个向量，如果不是则抛弃，遍历完全部向量后，就可以找到极大无关组
• 初等变换法：写成行矩阵的形式，进行矩阵的行初等变换（不进行行换序）消除等价向量，最后剩下的行原本对应向量就是一个极大无关组。

定理：极大无关组和初始向量组等价，可以通过研究极大无关组研究原本向量组的性质

定义：极大无关组含有的向量的个数是固定的，我们称为向量组的秩（rank）

性质：

• 线性无关组的充要条件为：秩和向量数相同
• 等价的向量组秩相同
• 含有非0向量的向量组一定有极大无关组
• 全部是0向量构成的向量组，没有极大无关组，秩为0

线性方程组解的判定

在漫长的偏题后，我们回来继续研究线性方程组的问题，虽然本文“高斯消元”部分已经可以解出方程组了，但是我们还是希望寻找一些通用的方法与思路，简化运算与思考

将线性方程组改写为向量形式（列向量）

$$\alpha_1=(a_{11},a_{21},\cdots,a_{n1}),\alpha_2=(a_{12},a_{22},\cdots,a_{n2}),\beta=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})$$

原方程等价于

$$x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n=\beta$$

定理：$x_{1} \alpha_{1} + \cdots + x_{n} \alpha_{n} = \beta \quad \text{有解} \Leftrightarrow \beta \text{可被}\text{线性表出}$

等价定理：$\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{s1} & \cdots & a_{sn} \end{vmatrix} \quad \text{和其增广矩阵} \quad \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_{1} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{s1} & \cdots & a_{sn} & b_{s} \end{vmatrix} \quad \text{具有相同的秩}$

克拉默法则的推广：对于一个方程组，假设其系数矩阵的秩为$r$ 意味着只需要只需要其中的$r$个方程就等价全部方程，此时有$r$个方程，$n$个未知数

• 如果$r=n$则适用于克拉默法则，$A\ne0$
• 如果$r<n$ 则方程多解，自由未知量的数目为$n-r$
• 如果$r>n$ 则方程无解

线性方程组解的结构

本节开始我们研究多解的方程组解的结构，希望用少量的解来表示多解的线性方程组的解。

我们给出线性方程组的解的基本性质：解的线性组合是解

对于齐次线性方程组而言，我们给出下面的叙述

定义：一组解$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_r$ 称为一组基础解系，如果

• 所有的解都是他们的线性组合（够全）
• 他们本身线性无关（够小）

证明基础解系的存在和寻找基础解系的过程就是用矩阵变换来解方程组的过程，自由未知量应该选择为单位向量

推论：任意自身线性无关并且和基础解系等价的向量组都是基础解系，所有的基础解系都含有相同个数的解。

对于非齐次的线性方程组而言，我们推广前面的叙述

定义：我们将和非齐次线性方程组系数矩阵相同的齐次线性方程组称为他的导出组。

我们直接给出性质：非齐次线性方程组两组解的差就是齐次方程组的解

定理：设$v$是非齐次方程组的一个特解，$\eta$是其导出组的解，那么$v+\eta$就是非齐次方程组的一个解，当$\eta$取遍基础解系的时候，$v+\eta$覆盖所有解，也就是说，非齐次方程组的解有下面的形式

$$v+k_1\eta_1+\cdots+k_{n-\gamma}\eta_{n-\gamma}$$

我们只需要研究特解和导出组的通解，就可以给出非齐次方程组的通解

推论：$非齐次线性方程组只有一解\Longleftrightarrow 其导出组只有0解$