Mathematical Analysis: Limits and Continuity

在所有之前

数学分析是基础课程之一 和高等数学一样 但是数学分析比高等数学范围更窄 只包含最核心的微积分知识 解析几何 微分方程理论都会作为一门单独的课程进行学习；作为最核心的基础课 在这里我们将学习微积分的知识 和曾经学习的初等数学不同的是 从此以后我们将研究变化的量而非常量 微积分理论的开创是需求推动的结果 所有我们能看到知识在应用层面的意义；微积分理论的开创有两个核心部分组成 一是微分和积分的严格定义 而是两者之间的联系 牛顿和莱布尼茨是微积分理论的开创者 但是前人的研究也不可忽视 在数学分析中 我们不仅需要学会计算 理解微积分的思想在后面也是重要的

预备知识

学习必要的预备知识是几乎每一本数学专业课书籍的开篇

集合

集合的一些基础知识复习

集合基本上每本书都会提一点 当然最后我们会在集合论中将他们收束

集合的定义：具有某种特定性的具体或者抽象的对象的集体 这些对象被称为集合的元素

$$x \in S ~~~~ x \notin S$$

常用的集合

$$N^{*} ~~ N ~~Z ~~ Q ~~ R$$

可以使用枚举和描述来表示集合（高中学过）

集合中的元素不具有位置关系 重复元素没有意义 不含有任何元素的集合是空集

$$\phi$$

子集是某个集合中所有元素都属于另一个集合 记作 对应的有真子集

$$S\subset T$$

区间是实数的子集

集合的运算

并

$$S \cup T = \{x\in S ~~ or~~ x\in T \}$$

交

$$S \cap T = \{x\in S ~~ and~~ x\in T \}$$

差

$$S \setminus T = \{x\in S ~~ and~~ x\notin T \} ~~和S-T一致$$

补

$$S_{x} ^{C} = x\setminus S ~~~~明显的 S\cup S_{x} ^{C} = x~~~~S\cap S_{x} ^{C} = \phi$$

运算律 交换 结合 分配

$$\begin{align*} &A\cap B=B\cap A \\ &A\cap B\cap C = (A\cap B)\cap C =A\cap (B\cap C) \\ &A\cap (B\cup D) = (A\cap B)\cup (A\cap D) \\ \end{align*}$$

De Morgan 公式

$$(A\cup B)^{C} = A^{C}\cap B^{C} ~~~~ (A\cap B)^{C} = A^{C}\cup B^{C}$$

有限集和无限集

如果集合有n个元素构成 n是非负的整数 则成为有限集 反之称为无限集

如果一个无限集中的元素可以按照某种规律排成一个序列 则成为可列集

无限集一定有列子集 但是不一定是可列集

可列个可列集的并是可列集 核心就是找到一个规律

有理数集Q是可列集

Descartes乘积几何集合

$$A\times B = \{(x,y)\mid x\in A~~ and~~y \in B\}$$

Descartes 乘积可以表示维度更高的信息 这对解析几何理论影响深远

映射与函数

映射

映射的定义：两个集合之间的某种对应关系；设X Y是两个集合 如果按照某种关系 f 使得 对于X中的每一个元素 x 都有唯一确定的Y与之对应 则称规则f 是X到Y的一个映射 记作

$$f:X\to Y ~~or~~ y=f(x)$$

我们称 y 是像 x 是原像 X是定义域 Y的某个子集是值域 因为Y中有的部分是取不到的 所以不算值域

像具有唯一性 原像则不然 这是映射的定义保证的

单射：原像具有唯一性 满射：Y是值域 双射：既是单射又是满射 逆映射: 对于单射f 构建Y到X的映射 恰好和映射 f 的对应相反 称为逆映射 明显的 需要是双射才可以构造逆映射 我们记为

$$f^{-1}$$

复合映射：如下 称为映射的复合 结果是复合映射

$$\begin{align*} &对于~g：X\to U_{1}~~f:U_{2}\to Y ~~如果U_{1}是U_{2}的子集~~\\&则称X\to Y的特定映射是f和g的复合映射 ~~记作f\circ g \end{align*}$$

复合映射的存在性取决于前一个映射的值域是否是后一个映射的定义域的子集

复合映射是有顺序的

复合映射恒等式

$$f\circ f^{-1}(y)=y~~~~f^{-1}\circ f(x) = x$$

函数

对于前面的映射 我们取X Y都是R 则称该映射是一元的实函数 记为

$$y = f(x)$$

x称为自变量 y称为因变量 f 称为函数关系

所谓的数学分析时研究变量的学科 实际上就是在研究几种特殊的函数 诸如复变函数 实变函数这些分析类课程也是在研究某一类函数

初等函数

基本初等函数只包括以下六类

$$\begin{align*} & 常数函数~~y=c \\ & 幂函数~~~y=x^{\alpha}\\ & 指数函数~~y=a^{x}\\ & 对数函数~~y=log_{a}^{x}\\ & 三角函数~~y=sin(x) 等\\ &反三角函数~~y=arcsin(x) 等 \end{align*}$$

初等函数经过四则运算 复合运算的结果称为基本初等函数

分段函数

形如

$$f(x)=\left\{\begin{align} \varphi(x) ,x\in A\\ \phi(x) ,x\in B \end{align}\right.$$

下面是一些例子 符号函数

$$f(x)=\left\{\begin{align} 1,x>0\\ 0,x=0\\ -1,x<0 \end{align}\right.$$

整数部分函数

$$y=[x]$$

非负小数部分函数

$$(x)=x-[x]$$

隐函数

无法明确看出自变量和因变量之间的关系的函数 一般是一个方程 这里最大的问题是 我们不知道这个方程是否表示一个函数 下面是Kepler方程 他是一个函数 具体的判别我们会在后面研究

$$y = x+\epsilon siny$$

参数方程表示的函数

引入第三个变量 间接的确定函数关系 这往往是在模型建立是为了方便 避免这样的隐式表示不构成函数是比较重要的问题 后面也会解释

$$\left\{\begin{align} x=x(t)\\ y=y(t) \end{align}\right.$$

函数的性质

有界性 设$y=f(x)$的定义域为$D$，在$D$内，若存在一个正数$M$，使得对于任意$D$中的$x$,恒有$\left|f(x)\right|\leq M$. 则称函数$y=f(x)$在$D$上有界，亦称$f(x)$在$D$上是有界函数.如果不存在这样的正数$M$,则称函数$y=f(x)$在$D$上无界，亦称$f(x)$在$D$上是无界函数 注意 界不具有唯一性

单调性 设函数$f$在区间$I$上有定义，如果对于$I$上任意两个不相等的数$x_1$和$x_2$，当$x_1<x_2$时，恒有$f(x_1)<f(x_2)$，则称函数$f$在区间$I$上是增函数；如果恒有$f(x_1)>f(x_2)$，则称函数$f$在区间$I$上是减函数。如果恒有$f(x_1)\leq f(x_2)$或者恒有$f(x_1)\geq f(x_2)$，则称函数$f$在区间$I$上是单调不减或者单调不增的 注意 常数函数也是单调的 这和严格单调不一样 单调性是一个局部性质 并且和连续性 可导性无关

奇偶性 设函数$f(x)$的定义域为$I$，如果对于$I$上任意$x$，都有$-x\in I$，且$f(-x)=-f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做奇函数；如果对于$I$上任意$x$，都有$-x\in I$，且$f(-x)=f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做偶函数。 注意 他是全局的性质

周期性 若存在一非零常数$T$，对于定义域内的任意$x$，都有$f(x)=f(x+T)$恒成立，则$f(x)$叫做周期函数，$T$叫做这个函数的一个周期 也是全局的性质 存在周期不一定存在最小正周期 比如

$f(x)=c$，其中$c$为任意常数 $D(x)=\begin{cases} 1 & x\in\mathbb{Q} \\ 0 & x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{cases}$、

两个常用的不等式 三角不等式

$\vert a+b\vert \leq \vert a\vert + \vert b\vert$ $\vert a-b\vert \geq \vert a\vert - \vert b\vert$ $\vert a-c\vert \leq \vert a-b\vert + \vert b-c\vert$

平均值不等式

$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}\geq \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

当然二元或者更多元的也可以

实数连续性基础

数学分析主要在实数这个数域上进行研究 所以我们需要对实数有一些基础的了解 连续性是实数域比较重要的一个性质 我们在后面还会介绍更多的关于实数的定理

自然数是人类数系的起点 他的和与积是封闭的 但是两个自然数的差不一定是自然数 所以我们扩充得到了整数范围 又因为整数的除法不是封闭的 所以得到了有理数集 从几何角度很容易发现 整数是离散的 但是任何长度的坐标轴的有理数的个数均是无限个 也就是不存在没有有理点的区间 这被我们称为稠密性 这并不意味着有理数是完美的 比如边长为1的正方形 对角线的长度并不是一个有理数

$$\begin{align*} \sqrt{2} &= \frac{a}{b} && \text{假设根号2是有理数，且a和b是互质的整数}\\ 2 &= \frac{a^2}{b^2} && \text{两边平方}\\ a^2 &= 2 b^2 && \text{等价变形}\\ a &= 2 k && \text{由此可知，a是2的倍数，设为2k，其中k是某个整数}\\ (2 k)^2 &= 2 b^2 && \text{代入上式}\\ b^2 &= 2 k^2 && \text{等价变形}\\ b &= 2 m && \text{由此可知，b也是2的倍数，设为2m，其中m是某个整数}\\ \end{align*}$$

至此 我们证明了假设错误 也就是根号2是无理数

这些叙述告诉我们 虽然有理数是稠密的 但是他并没有在整个直线上分布 而是存在一些空隙 自然而然的 我们选择将一些无限不循环的小数加入我们的数域中 形成实数域 在后面的学习中我们会发现 实数域是具有连续性的 现在我们需要再补充一些必要的知识

补充知识

最大数和最小数

如果对任意$b\in A$，都有$a\geq b$，则称$a$是$A$的最大元素}（最大数），记作$\max A=a$ 同理可以给出最小数的定义 注意 有限集一定存在最大数和最小数 无限集不一定 我们要求一定要找到一个属于集合的最大元素 如果涉及极限就不行了

上确界和下确界

界的概念在前面提到过了 有上界和下届的集合称为有界集 这里我们给出确界的概念 设数集$S$有上界 记$U$是全体上界构成的集合 我们给出结果 $U$一定有最小数 这个最小数就是集合$S$的上确界 下确界同理 一般分别记作$sup和inf$ 上确界具有以下性质

$\beta$是数集$S$的上界 则有$\forall x\in S~~ x<=\beta$ $\forall \epsilon >0 ~~\exists x\in S ~~x>\beta-\epsilon$

这便是确界原理 我们会在实数完备性定理部分对他给出证明-

数列极限

数列极限的定义

数列极限的性质

数列极限的几个练习

无穷大量

实数完备性定理

实数完备性定理就是实数连续性定理 所谓的完备就是连续 只是侧重了不同的方面 很多定理都可以反应实数的完备性 我们会在最后的证明给出他们全部等价的说明 两个核心的问题 1. 有界的数列什么时候收敛 2.有界数列的一些其他的性质

确界原理

确界原理就是在上确界部分我们没能给出证明的那个定理 他的直观叙述为:非空有上界集合一定有上确界 证明: $\forall a\in R~~ x=[x]+(x) ~~一定有(x)=0.a_{1}a_{2}...a_{n}... 设$S$是非空有上界的数集 $S$中所有的元素均有$[x]+(x)$组成 记$[x]=a_{0}$ 由于$S$有上界 取最大的$a_{0}$ 记为$\alpha_{0}$ 此时做集合$S_{0}$ 满足$S_{0}=\{x\mid x\in S~~ and~~[x]=\alpha_{0} \}$重复这个过程 给出$S_{1}~S_{2}$等 此时我们认为 上确界$\beta$就是$\alpha_{0}.\alpha_{1}\alpha_{2}....\alpha_{n}....$ 实际上我们可以确定 他就是上界 并且是最小的上界 从直观角度理解一下这个定理和实数的连续性之间的关系 如果实数是有空隙 那么记这个空隙一点$x_{0}$ 这一点右边实数构成的集合是有下界的 但是他没有原本应该有的下界$x_{0}$ 左边也是同理

单调有界原理

函数极限