本文转载自 Jonas Kristoffer Lindeløv 的精彩文章 Common statistical tests are linear models 原文深入浅出地揭示了统计学中一个令人惊讶的简单真理：大多数常用的统计检验（t检验、相关分析、ANOVA、卡方检验等）都是线性模型的特例。

Common statistical tests are linear models

核心概念：万物皆线性

大多数常用的统计模型（t-test, correlation, ANOVA; chi-square, etc.）都是线性模型的特例，或者是近似的特例。我们不必死记硬背每一个检验的假设和公式，因为它们都可以归结为高中就学过的公式：

$$y = a \cdot x + b$$

这种简单的美感降低了理解统计学的门槛。不论是频率学派、贝叶斯学派还是基于置换的推断，底层的线性模型都是一致的。

对于所谓的“非参数检验 (non-parametric tests)”，我们也可以用一种更直观的方式来理解：它们通常只是在秩变换 (rank-transformed) 数据上运行的对应参数检验。与其认为非参数检验“不需要假设”，不如将其理解为“在排名 (ranks) 上进行计算”。

下图概括了这一观点（点击查看PDF版本）：

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相关性 (Pearson and Spearman)

理论：作为线性模型

相关性分析的本质，就是寻找最佳拟合直线。模型公式如下：

$$y = \beta_0 + \beta_1 x \qquad \mathcal{H}_0: \beta_1 = 0$$

这就是我们熟悉的 $y = ax + b$。在 R 语言中，我们通常写成 y ~ 1 + x，这代表 $y = 1 \cdot \beta_0 + x \cdot \beta_1$。不论怎么写，它都由截距 ($\beta_0$) 和斜率 ($\beta_1$) 构成。

秩变换 (Rank-transformation) 与 Spearman

Spearman 相关系数实际上就是对 $x$ 和 $y$ 进行秩变换 (Rank-transformation) 后的 Pearson 相关系数：

$$rank(y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot rank(x) \qquad \mathcal{H}_0: \beta_1 = 0$$

所谓“秩 (Rank)”，就是把数值替换为它们的大小排名（最小的为1，第二小为2…）。虽然 Spearman 的 p 值在小样本时只是近似值，但当 N > 10 时通常已经足够准确。

R 代码对照：Pearson

运行下面的 R 代码，你会发现线性模型 (lm) 产生的 $t$, $p$ 值与内置的 cor.test 完全一致。

区别在于：lm 给出的是斜率，而 cor.test 给出的是相关系数 $r$。如果我们将数据标准化（使 SD=1），那么斜率就等于 $r$。

# Built-in t-test
a = cor.test(y, x, method = "pearson")

# Equivalent linear model: y = Beta0*1 + Beta1*x
b = lm(y ~ 1 + x)

# On scaled vars to recover r
c = lm(scale(y) ~ 1 + scale(x))

R 代码对照：Spearman

同样的逻辑适用于 Spearman 相关，只需先对数据进行 rank() 变换：

# Spearman correlation
a = cor.test(y, x, method = "spearman")

# Equivalent linear model
b = lm(rank(y) ~ 1 + rank(x))

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单均值 (One Mean)

理论：作为线性模型

单样本 T 检验 (One-sample t-test) 测试样本均值是否显著异于 0。这实际上是一个只有截距的线性模型：

$$y = \beta_0 \qquad \mathcal{H}_0: \beta_0 = 0$$

这里没有 $x$（或者说 $x=0$），所以剩下的 $\beta_0$ 就是均值。

对于非参数对应的 Wilcoxon 符号秩检验 (Wilcoxon signed-rank test)，原理相同，只是应用于符号秩 (signed ranks) 数据上：

$$signed\_rank(y) = \beta_0$$

R 代码对照：单样本 T 检验

# Built-in t-test
a = t.test(y)

# Equivalent linear model: intercept-only
b = lm(y ~ 1)

你会发现 lm(y ~ 1) 的输出中，截距项的估计值 (Estimate) 就是均值，t 值和 p 值也与 t.test 的结果完全一致。

R 代码对照：Wilcoxon 符号秩检验

# Built-in
a = wilcox.test(y)

# Equivalent linear model
b = lm(signed_rank(y) ~ 1)

# Bonus: also works for one-sample t-test on signed ranks
c = t.test(signed_rank(y))

使用 lm 不仅能得到匹配的 p 值，还能直接得到“平均符号秩”，这是一个比单纯的 W 统计量更直观的数字。

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其他常用检验汇总

除了上述两个示例，其他常见的统计检验也都可以映射到线性模型中。为了保持本文简洁，以下列出摘要对照表，点击链接可查看原文详细推导和代码。

统计检验 (Test)	线性模型公式 (Simulated LM)	原文链接
双均值 (Two means) (Independent t-test)	$y = \beta_0 + \beta_1 x$ ($x$ 是二分类变量)	Link
方差分析 (Three or more means) (One-way ANOVA)	$y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + ...$ (使用虚拟变量编码 Dummy coding)	Link
协方差分析 (ANCOVA)	$y = \beta_0 + \beta_1 x_{categorical} + \beta_2 x_{continuous}$	Link
比例与卡方 (Proportions / Chi-square)	$\ln(y) = \beta_0$ (Log-linear models,使用 Poisson 回归)	Link

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总结

理解这些检验背后的线性模型关系，能让我们减少对特定“检验名称”的依赖，转而关注模型的构建。无论是 t 检验还是复杂的 ANOVA，它们都在回答同一个问题：我的模型参数是否显著不为零？

感谢 Jonas Kristoffer Lindeløv 提供的精彩视角。

• 原文链接: Common statistical tests are linear models
• Python 版本: Tests as linear (Python)
• GitHub 仓库: lindeloev/tests-as-linear