三门问题：为什么主持人开门后，换门更好

先说直觉为什么总会卡住

三门问题最容易让人犹豫的地方，不在计算，而在情绪。

你先选了一扇门，主持人再打开另一扇空门，场上只剩两扇门。人的第一反应几乎总是：现在不就是二选一吗？ 这时再换门，心理上还会多出一种额外的不适感：如果原来那扇门就是对的，那么明明选对了又亲手改错会显得尤其亏。

所以很多人不是被概率拦住，而是被不要背叛自己的第一选择这个感觉拦住了。

概率其实从来没有重置

关键在于，主持人开门之前，你第一次选中的概率就已经定了：

这件事不会因为主持人后来开了一扇空门，就突然变成 $\frac{1}{2}$。你的门还是那扇门，你第一次猜中的概率还是只有 $\frac{1}{3}$。

因此，

而另外两扇门在一开始合起来有 $\frac{2}{3}$ 的中奖概率。主持人开掉其中一扇羊门后，这 $\frac{2}{3}$ 并没有消失，而是集中到了唯一剩下的那扇门上：

从这个角度看，主持人不是在“把三扇门变成两扇门”，而是在把原本分散在两扇门上的概率，压缩到一扇门上。

主持人真正带来了什么信息

三门问题里最重要的不是有一扇门被打开了，而是谁打开的、以及他按什么规则打开。

结论之所以成立，依赖三个条件：

• 主持人知道奖品在哪里
• 主持人一定会打开一扇有羊的门
• 主持人打开之后一定会给你换门机会

这说明主持人的动作不是随机动作，而是一次受约束的信息披露。他不能把奖品门打开，所以一旦你一开始没选中，主持人就等于替你排除了错误选项，并把剩下那扇未开的门保留下来。

如果主持人是随机开门，甚至可能不小心把奖品开出来，那么结论就不再是简单的 $\frac{2}{3}$。很多争论其实都混淆了这一点。

放大到 100 扇门就不难受了

把三门问题放大到 100 扇门，直觉会立刻变清楚。

你先随便选一扇门，第一次就选中奖品的概率只有：

剩下 99 扇门合起来有：

的概率藏着奖品。接着主持人知道答案，并连续打开 98 扇羊门，只留下你原来的门和另一扇未开的门。

这时候如果你坚持原门，胜率还是 $\frac{1}{100}$；如果你换门，胜率就是 $\frac{99}{100}$。

三门版本之所以让人误判，只是因为 1/3 和 2/3 的差距看起来还不够刺眼。放大到 100 门之后，你会更容易看见：你其实是在拿自己那次很不可靠的首次猜测，和主持人替你筛过一次之后留下的结果做比较。

结语

三门问题是一个小把戏，它承认一件事：信息不是只靠说话传递的，行动规则本身也会传递信息。

主持人开门之后，世界并没有变成平均的 50/50。真正发生的事，是一部分原本分散的概率，被一次有约束的动作重新聚焦了。也正因为如此，换门才会更好。