对于一个 $n\times T$ 的多元时间序列矩阵 $X$，其中 $n$ 是通道数（或变量数），$T$ 是时间节点（观测数）。对其进行 SVD 分解，可以得到 $X=U\Sigma V^T$。下面我们来详细解释分解后得到的各个矩阵的意义及其应用。
整体的含义
对于矩阵 $U$，它代表了数据中的空间模式，其每一列都是特征通道的某种线性组合。
对于矩阵 $V$，它代表了数据中的时间模式，其每一列对应于上述空间模式的时间演化波形。
对于奇异值矩阵 $\Sigma$，它代表了空间-时间模式对的重要性。奇异值越大，对应的模式在原始数据中占比越重，解释的方差越多。
物理意义的直观例子
对于空间模式 $U$ 的每一个列向量 $u_i$，我们考虑奇异值最大的那个列向量 $u_1$，也就是最重要的空间模式：
- 对于多地区的气温序列研究，我们可能发现 $u_1$ 中所有表示北方地区的元素都较大，而南方地区的元素较小。这就意味着最重要的温度变化模式是全国空间上的差异（例如南北差异）。
- 对于脑电数据（EEG），$u_1$ 可能意味着特定脑区的激活强度更高。
总而言之，空间模式 $U$ 度量了我们观测空间上的整体差异。
然后我们讨论最重要的时间模式 $v_1$。它是一个时间序列：
- 对于气温问题，$v_1$ 可能呈现季节性，代表了气温随时间的波动情况。
- 对于脑电数据，$v_1$ 可能对应于特定脑区被激活的时刻。
至于奇异值矩阵 $\Sigma$，它负责度量这个（空间-时间）效应对整体数据的贡献程度。
深入分析与应用
1. 研究通道间的差异与联系（侧重矩阵 $U$）
当我们侧重于研究各个时间序列通道之间的差异和联系的时候，我们应该着重研究矩阵 $U$。
- 社群发现：当在最重要的向量中，部分元素的绝对值都很大的通道，往往存在很强的关联，形成对应的社群。
- 关键节点识别：那些在多个 $u_i$ 向量中都占据很大权重的通道，往往是系统的关键节点。
- 异常检测：如果我们已知某些通道应紧密联系，但数据分析结果显示它们在 $U$ 中的表现不一致，那可能说明数据产生了异常。
2. 研究时间的动态特性（侧重矩阵 $V$）
当我们侧重研究时间的动态特性的时候，就应该侧重研究矩阵 $V$。
- 频率分析：对最重要的时间模式向量 $v_i$ 进行 FFT（快速傅里叶变换），就可以找到最主要的震荡频率。
- 事件监测：某个空间模式可能代表一个特定的事件。通过监测该事件对应的时间模式，可以确认事件的发生。
- 趋势捕捉：最重要的时间模式一般会捕捉最缓慢且持久的全局趋势。随着奇异值的下降，对应的模式持久程度通常不断降低，重要性也随之下降（高频噪声通常在末尾）。
3. 数据压缩
SVD 分解也可以用于数据压缩，类似于其他的矩阵分解方式。我们可以选择降低矩阵 $U$ 或者矩阵 $V$ 的维数：
- 降低 $U$ 的维数：侧重于降低特征（通道）的数量。
- 降低 $V$ 的维数：侧重于降低时间序列的长度，用少数具有代表性的时刻来表示整个样本。
这在观测事件过长（$T$ 很大）也就是样本空间过大的时候可以考虑。